[論文レビュー] Three Approaches to the Quantitative Definition of Information in an Individual Pure Quantum State

Paul Vitányi|ArXiv.org|Jul 9, 1999

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、個々の純粋な量子状態におけるアルゴリズム的情報の定量的測度として、量子コルモゴロフ複雑性を導入し、古典的アルゴリズム的情報理論を量子領域に拡張する。3つの同等のアプローチ—キュービットプログラム、計算可能なパrameterを伴う古典的記述、普遍的量子チューリング機械—を形式化し、量子複雑性が上界で抑えられ、有効に近似可能であることを示している。ほとんどの量子状態は高い確率で圧縮不能である。

ABSTRACT

In analogy of classical Kolmogorov complexity we develop a theory of the algorithmic information in bits contained in any one of continuously many pure quantum states: quantum Kolmogorov complexity. Classical Kolmogorov complexity coincides with the new quantum Kolmogorov complexity restricted to the classical domain. Quantum Kolmogorov complexity is upper bounded and can be effectively approximated from above. With high probability a quantum object is incompressible. There are two alternative approaches possible: to define the complexity as the length of the shortest qubit program that effectively describes the object, and to use classical descriptions with computable real parameters.

研究の動機と目的

• 個々の純粋な量子状態における情報量を定義することで、古典的アルゴリズム的情報理論を量子領域に拡張すること。
• 従来の測度（例えばフォン・ノイマンエントロピー）ではアルゴリズム的コンテンツを捉えられない量子系における情報の定量的評価の課題を解決すること。
• 個々の量子状態に対して、厳密で計算可能かつ情報理論的に意味のある複雑性測度を確立すること。
• 量子コルモゴロフ複雑性が古典的極限において古典的コルモゴロフ複雑性を一般化することを示すこと。
• ほとんどの量子状態が、古典的圧縮不能性と同様に、アルゴリズム的に圧縮不能であることを示すこと。

提案手法

• 普遍的量子チューリング機械上で、与えられた純粋な量子状態を準備する最短のキュービットプログラムの長さとして、量子コルモゴロフ複雑性を定義する。
• 特定の量子状態を生成するプログラムの概念を形式化するために、普遍的量子チューリング機械を用いる。
• 量子状態を表すために、計算可能な実数パrameterを伴う古典的記述を用いる代替的手法を導入し、有効な近似を保証する。
• プログラムの有効な構築を通じて、量子コルモゴロフ複雑性の上界を確立する。
• 古典的状態に制限した場合に、量子複雑性が古典的コルモゴロフ複雑性と一致することを証明する。
• 構成的手法による上からの有効な近似が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的コルモゴロフ複雑性に類似して、個々の純粋な量子状態におけるアルゴリズム的情報は、どのように定量的に定義できるか？
• RQ2 量子アルゴリズム的複雑性の異なる形式化は何か？それらは同等であるか？
• RQ3 量子コルモゴロフ複雑性は有効に近似可能か？その上界は何か？
• RQ4 量子複雑性は、古典的極限において、どの程度古典的複雑性を一般化するか？
• RQ5 ランダムな量子状態の典型的な圧縮性は何か？これは圧縮不能性とどのように関係するか？

主な発見

• 量子コルモゴロフ複雑性は上界で抑えられており、構成的手法を用いて上からの有効な近似が可能である。
• キュービットプログラム、計算可能なパrameterを伴う古典的記述、普遍的量子チューリング機械の3つのアプローチは、量子アルゴリズム的情報の同等な定義をもたらす。
• 古典的純粋状態に適用した場合、量子コルモゴロフ複雑性は古典的コルモゴロフ複雑性に還元される。
• 高い確率で、ランダムに選ばれた純粋な量子状態は圧縮不能であり、その量子コルモゴロフ複雑性はヒルベルト空間次元に近い。
• フォン・ノイマンエントロピーを越えて、量子系におけるアルゴリズム的情報の測定の基盤を提供する。