[論文レビュー] Three classes of 1-planar graphs

Július Czap, Peter Šugerek|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、図における交差の性質に基づき、1-平面的グラフを三つのクラス C₀、C₁、C₂ に分類する新しい分類法を提示する。C₁-図形における n 頂点の 1-平面的グラフについて、最大で (3/5)n − 6/5 個の交差を持つことが証明され、これにより (18/5)n − 36/5 条のタイトな上界が得られ、Zhang らの先行結果を改善する。本研究はさらに、1-平面的グラフの結合積の性質を同定し、小さなグラフを含む結合における辺数の鋭い上限を確立する。

ABSTRACT

A graph is called 1-planar if it can be drawn in the plane so that each of its edges is crossed by at most one other edge. In this paper we decompose the set of all 1-planar graphs into three classes $\mathcal C_0, \mathcal C_1$ and $\mathcal C_2$ with respect to the types of crossings and present the decomposition of 1-planar join products. Zhang \cite{z} proved that every $n$-vertex 1-planar graph of class $\mathcal C_1$ has at most $\frac{18}{5}n-\frac{36}{5}$ edges and a $\mathcal C_1$-drawing with at most $\frac 35 n-\frac 65$ crossings. We improve these results. We show that every $\mathcal C_1$-drawing of a 1-planar graph has at most $\frac 35 n-\frac 65$ crossings. Consequently, every $n$-vertex 1-planar graph of class $\mathcal C_1$ has at most $\frac{18}{5}n-\frac{36}{5}$ edges. Moreover, we prove that this bound is sharp.

研究の動機と目的

• 図における交差のパターンに基づき、すべての 1-平面的グラフを三つの異なるクラス C₀、C₁、C₂ に分類すること。
• Zhang の先行研究における 1-平面的グラフの C₁-図形における交差数と辺数の上限を精緻化・改善すること。
• 特に一つの因子が小さい（例：P₁、P₂、2P₁）場合に、G+H の 1-平面性を同定し、C₀ および C₁ に属するための必要十分条件を特定することにより、結合積 G+H の 1-平面性を特徴付けること。
• さまざまな結合構成において、クラス C₁ および C₀ の 1-平面的グラフの辺数に対する鋭い上界を確立すること。

提案手法

• 関連する平面的グラフ G× における偽頂点（交差点）の隣接頂点集合の最大サイズに基づき、1-平面的グラフの三つのクラス C₀、C₁、C₂ を定義する。
• 幾何的再図法を用いて、共通の隣接頂点が3つ以上ある交差を除去し、任意の 1-平面的グラフが C₂ に属するように再図化できることを証明する。
• 極値的グラフ理論および平面的グラフの性質を応用し、C₀ および C₁ グラフの辺数上限を導出する。ここで C₀-図形では交差が独立であり、C₁-図形では隣接頂点の重なりが限定的であることを用いる。
• H がパスまたはパスの直和である場合の結合積 G+H を、部分グラフのマジョライゼーションと構造的制約を検討することで分析する。
• 既知の交差数の結果（例：Kₘ,ₙ について）および構造的構成を用い、明示的なグラフ族を用いて上限のタイトさを検証する。
• 具体的なグラフ族（例：Gₖ、Gₙ₋₁）を構成し、正確な辺数を達成する例を提示することで、導出された上限がタイトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の n 頂点の 1-平面的グラフの C₁-図形における最大交差数は何か？この上限は最適図形に限らず、普遍的に成り立つか？
• RQ2 C₁ 1-平面的グラフにおける (18/5)n − 36/5 条の辺数上限はタイトであることを証明できるか？また、これは最良図形に限らず、すべての C₁-図形に適用可能か？
• RQ3 どのグラフの組 (G,H) に対して結合 G+H が C₀ または C₁ に属するか？G および H が満たすべき構造的条件は何か？
• RQ4 G+H が C₀ または C₁ に属する場合、1-平面的グラフ G の辺数に対する最もタイトな上界は何か？特に H が小さい場合（例：P₁、P₂、2P₁）に注目する。
• RQ5 G および H がともに3頂点以上である場合、G+H の 1-平面性およびクラス所属を完全に特徴付けるにはどうすればよいか？

主な発見

• 任意の n 頂点の 1-平面的グラフの C₁-図形において、交差数は最大で (3/5)n − 6/5 個であり、これは最適図形に限らず普遍的に成り立つ。
• これにより、C₁ クラスの n 頂点 1-平面的グラフは最大で (18/5)n − 36/5 条の辺を持つことが示され、この上限はタイトである。
• C₁ 1-平面的グラフにおける (18/5)n − 36/5 条の辺数上限は、明示的なグラフ族がこの辺数を達成することにより、タイトであることが示された。
• 結合 G+H が C₀ に属するための必要十分条件は、[G,H] が [C₃, P₂∪P₁] または [P₃, P₃] のいずれかの部分グラフマジョライゼーションである場合に限る。
• G および H がともに3頂点以上である場合、結合 G+H が C₁ に属するための必要十分条件は、[G,H] が [2P₂∪C₃] または [P₄, P₃] の部分グラフマジョライゼーションである場合に限る。
• P₁、P₂、2P₁ を含む小さなグラフを含む結合に関して、本稿はタイトな辺数上限を導出する：C₀ では |E(G)| ≤ 2.25|V(G)| − 2.75、C₁ では |E(G)| ≤ 1.6|V(G)| であり、両者ともタイトである。