[論文レビュー] Three Cocycles on $\Diff(S^1)$ Generalizing the Schwarzian Derivative

Sofiane Bouarroudj, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|Oct 18, 1997

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、微分同相群 Diff(S¹) 上の線形微分作用素のモジュールにおける微分コhomologyを用いて、シュワルツ微分の一般化として、非自明な1-コサイクルの3つの族を構成する。主な結果は、これらのコサイクルが PSL(2,R)-不変であり、作用素の順序差異 μ−λ = 2, 3, 4 の3つの場合にのみ存在することであり、λ に関する特定の例外を除いて、古典的なシュワルツ微分の射影的不変性を一般化する新しい安定コhomology類を確立する。

ABSTRACT

The first group of differentiable cohomology of $\Diff(S^1)$, vanishing on the Möbius subgroup $PSL(2,R)\subset\Diff(S^1)$, with coefficients in modules of linear differential operators on $S^1$ is calculated. We introduce three non-trivial $PSL(2,R)$-invariant 1-cocycles on $\Diff(S^1)$ generalizing the Schwarzian derivative.

研究の動機と目的

• Diff(S¹) における線形微分作用素のモジュールを係数とする、最初の微分コhomology群を計算し、モビウス部分群 PSL(2,R) で消えるものとする。
• 古典的なシュワルツ微分を高階微分作用素へ一般化し、1-コサイクルとしての性質を保つこと。
• Diff(S¹) 上の作用素空間値で、PSL(2,R)-不変な1-コサイクルの明示的族を同定および構成すること。
• テンソル密度および微分作用素への Diff(S¹) の作用に起因する安定コhomology類を分類し、特にシュタルム＝リウヴィル理論および幾何的量子化の文脈で考察すること。

提案手法

• 本稿では、テンソル密度の度数 λ および μ に関する微分作用素のモジュール Dλ,μ における、Diff(S¹) と PSL(2,R) の作用の下での微分コhomology群 H¹_diff(Diff(S¹), PSL(2,R); Dλ,μ) を、微分作用素のモジュール構造を用いて計算する。
• テンソル密度の引き戻しを用いて、微分作用素上の二パラメータ族の Diff(S¹)-作用を定義し、変換則 f*λ(ϕ) = ϕ∘f⁻¹·(f⁻¹)′^λ を用いる。
• 微分作用素とその主要記号および低次の項との関係を結ぶために、PSL(2,R)-等変記号写像を用いる。
• 主な技術的アプローチは、微分作用素の係数が微分同相写像の下でどのように変化するかを分析することであり、特に最初の5つの係数に注目する。
• シュワルツ微分 S(f) が二次微分形式値1-コサイクルであることに着目し、それを高階の類似物へ拡張する。
• 特に、D³₀,₅ および D³₋₄,₁ のような特定のケースにおいて、コサイクル条件を解くことにより、コサイクルの明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が線形微分作用素のモジュールであるとき、PSL(2,R) で消えるように制限された、Diff(S¹) の最初の微分コhomology群 H¹_diff(Diff(S¹), PSL(2,R); Dλ,μ) の構造は何か？
• RQ2 古典的なシュワルツ微分を、PSL(2,R)-不変性を保ちつつ、高階微分作用素へ一般化することは可能か？
• RQ3 Diff(S¹) 上に値をとる非自明な1-コサイクルが、Dλ,μ に存在するのはどのような場合か？ その順序およびパラメータ依存性は何か？
• RQ4 これらの一般化されたコサイクルに対応するコhomology類は、テンソル密度のモジュールの拡張として実現可能か？
• RQ5 順序差異 μ−λ = 2, 3, 4 の場合、および例外的ペア (λ,μ) = (−4,1), (0,5) の場合における、一般化されたコサイクルの明示的公式は何か？

主な発見

• μ−λ = 2 かつ λ ≠ −1/2、μ−λ = 3 かつ λ ≠ −1、μ−λ = 4 かつ λ ≠ −3/2 のとき、微分コhomology群 H¹_diff(Diff(S¹), PSL(2,R); Dλ,μ) は1次元である。
• 例外的ペア (λ,μ) = (−4,1) および (0,5) の場合、コホモロジー群も1次元であり、これにより追加の非自明なコサイクルの存在が示唆される。
• シュワルツ微分を高階微分作用素へ一般化する非自明な PSL(2,R)-不変1-コサイクルの3つの族が構成された。これらは順序差異2, 3, 4に対応する。
• D³₀,₅ および D³₋₄,₁ におけるコサイクルの明示的公式 V₀(f) および V₋₄(f) が提示され、これらは S(f) 及びその3階微分までを含む。
• コサイクル V₀(f) および V₋₄(f) が1-コサイクル条件を満たし、非自明であることが示され、これらが Diff(S¹)-モジュールの非自明な拡張を定義する役割を果たすことが確認された。
• D²λ,λ+2 および D³ν,ν+λ+3 にそれぞれ部分モジュールとして実現される Eλ,λ+2 および Eλ,λ+3 は、一般化コサイクルによって定義される拡張と同型である。