[論文レビュー] Three Datatype Defining Rewrite Systems for Datatypes of Integers each extending a Datatype of Naturals

J.A. Bergstra, Alban Ponse|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、自然数の正規項代数を拡張する3つの地面完全で地面合併性を満たすデータ型定義リライトシステム（DDRS）を整数について提示する。それぞれが、1進法表記（0, S, P）、2進法桁接続構成子、10進法桁接続構成子を用いる。各システムは、標準的な整数表記と一致する一意な正規形を保証し、構造的帰納法と終了性の議論により地面完全性を証明する。

ABSTRACT

Integer arithmetic is specified according to three views: unary, binary, and decimal notation. The binary and decimal view have as their characteristic that each normal form resembles common number notation, that is, either a digit, or a string of digits without leading zero, or the negated versions of the latter. The unary view comprises a specification of integer arithmetic based on 0, successor function $S$, and predecessor function, with negative normal forms $-S^i(0)$. Integer arithmetic in binary and decimal notation is based on (postfix) digit append functions. For each view we define a ground-confluent and terminating datatype defining rewrite system (DDRS), and in each case the resulting datatype is a canonical term algebra that extends a corresponding canonical term algebra for natural numbers. Then, for each view, we consider an alternative DDRS based on tree constructors that yield comparable normal forms, which for that binary and decimal view admits expressions that are algorithmically more involved. These DDRSes are incorporated because they are closer to existing literature. For these DDRSes we also provide ground-completeness results. Finally, we define a DDRS for the ring of Integers (comprising fifteen rewrite rules) and prove its ground-completeness.

研究の動機と目的

• 整数算術の等式的仕様を、1進法、2進法、10進法という3つの異なる表記的視点を用いて提供すること。
• 各整数表記に対して、地面合併性と強く終了性を満たすDDRSを定義し、一意な正規形を保証すること。
• 自然数の正規項代数を、整数の対応する正規項代数に拡張すること。
• 既存の文献と整合性を持つが、正規形の同値性を保つように設計された、木構造子を用いた代替DDRSを提供すること。
• すべてのDDRSについて地面完全性を証明し、可換環の言語における最小の環ベースのDDRS（15の規則を有する）についても含める。

提案手法

• 1進法（S, P）、2進法（0/1を接続）、10進法（0–9を接続）の桁接続構成子を用いた、整数の3つのDDRSを定義。それぞれ自然数代数を拡張する。
• 数の表現を標準的な構文的形に近づけるために、木構造子（例：2進法・10進法の桁木）を用いた代替DDRSを構築する。
• 閉項に対する構造的帰納法を用いて、強終了性と地面合併性を証明し、すべての項が一意な正規形に還元されることを示す。
• 項構造のケース分析と重み関数を用い、すべての閉項が正規形であるか、さらに還元可能であることを確認する。
• 付録に、15の規則を有する最小の環ベースのDDRSについての正式な地面完全性証明を提供する。
• すべてのリライトシステムが標準的な環公理の意味的帰結であり、整数環Zとの同型を保つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数算術を、1進法、2進法、10進法という3つの異なる表記的視点を用いて形式的に定義可能であり、それぞれが標準表記と一致する一意な正規形を生成するか？
• RQ2 提案されたDDRSは地面合併性と強く終了性を満たしており、すべての閉項に対して一意な正規形を保証するか？
• RQ3 木構造子に基づく代替DDRSは、桁接続系と同一の正規形を生成しつつ、既存の形式的文献とより整合性を持つように定義可能か？
• RQ4 整数環（記号 {0, 1, −, +, ·} を用いる）の最小のDDRSは地面完全であり、標準的な環公理から導かれるか？
• RQ5 複雑な構成子と多数のリライト規則を有するDDRSに対しても、地面完全性は正式に証明可能か？

主な発見

• 整数の1進法DDRS（Zubd）は地面完全であり、記号 {0, S, P} を用い、負の整数の正規形は −Si(0) となる。
• 2進法DDRS（Zbud）は桁接続操作を用い、16の式を用いて地面完全であることが証明され、正規形は標準的な2進表記と一致する。
• 10進法DDRS（Zdub）は桁接続操作を用い、16の式を用いて地面完全であることが証明され、正規形は標準的な10進表記と一致する。
• 木構造子を用いた代替DDRS（Zut, Zbt, Zdt）が定義され、地面完全であることが証明され、既存の文献とより密接に一致する。
• 15の規則を有する整数環の最小DDRS（Zr）は地面完全であることが証明され、環の演算と公理のみを用いている。
• 環ベースのDDRS（Zr）は標準的な意味での合併性を満たさないが、地面合併性を満たし、項に対する重み関数を用いて強終了性が証明されている。