[論文レビュー] Three-dimensional Fourier transforms, integrals of spherical Bessel functions, and novel delta function identities

Gregory S. Adkins|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 42被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、指数関数のレイリー展開と球面調和関数による角分解を用いて、球面ベッセル関数とデルタ関数を含む3次元フーリエ変換を体系的に評価する手法を提示する。主な貢献は、$1/r$、$1/r^2$、および$\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\nabla}^2 (1/r)$の導関数を含む、新たな恒等式を統一的な枠組みで導出することであり、特に量子場理論および電磁気学における長年の曖昧さを解消する、式 (1d) における微妙なデルタ関数恒等式が含まれる。

ABSTRACT

We present a general approach for evaluating a large variety of three-dimensional Fourier transforms. The transforms considered include the useful cases of the Coulomb and dipole potentials, and include situations where the transforms are singular and involve terms proportional to the Dirac delta function. Our approach makes use of the Rayleigh expansion of exp(i p.r) in terms of spherical Bessel functions, and we study a number of integrals, including singular integrals, involving a power of the independent variable times a spherical Bessel function. We work through several examples of three-dimensional Fourier transforms using our approach and show how to derive a number of identities involving multiple derivatives of 1/r, 1/r^2, and delta(\vec r).

研究の動機と目的

• 運動量空間の演算子 $p^n \hat{p}_i \cdots$ を含む3次元フーリエ変換を計算する一般的で体系的なアプローチの開発。
• 特異項およびデルタ関数を含む変換における曖昧さの解消、特に $\delta(\vec{r})$ と $1/r^3$ 項を含む式 (1d) の恒等式。
• 球面ベッセル関数の積分表現を用いて、$1/r$、$1/r^2$、および $\delta(\vec{r})$ の多重微分に関する新しい恒等式の導出。
• 特にブライト方程式の文脈において、分布的恒等式の使用に厳密な基礎を提供すること、量子場理論および多体物理学に応用可能。

提案手法

• 指数関数のレイリー展開 $e^{i\vec{p} \cdot \vec{r}} = \sum_{\ell,m} (2\ell+1)i^\ell j_\ell(pr) P_\ell(\hat{p} \cdot \hat{r})$ を用いて、径方向と角方向の依存性を分離する。
• 角運動量成分 $\hat{p}_{i_1} \cdots \hat{p}_{i_L}$ を加法定理を用いて球面調和関数 $Y_\ell^m(\hat{p})$ に変換する。
• 球面調和関数の正規直交性を適用し、3次元変換を $I_{n\ell m}(\vec{r}) = \frac{i^\ell}{2\pi^2} Y_\ell^m(\hat{r}) \int_0^\infty dp\, p^{n+2} j_\ell(pr)$ の形の径方向積分に簡約化する。
• 既知の積分表および分布的恒等式を用いて、径方向積分 $R_{n\ell}(r) = \int_0^\infty dp\, p^{n+2} j_\ell(pr)$ を評価する。
• 分布的微積分および表面積分恒等式（一般化されたガウスの定理）を用いて特異項を取り扱い、$\delta(\vec{r})$ を含む恒等式を検証する。
• テスト関数をテイラー展開し、$R \to 0$ の極限における角平均を計算することで、恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間における $p^n \hat{p}_i \cdots$ を含む演算子の3次元フーリエ変換を体系的に計算する統一的アプローチはどのように開発できるか？
• RQ2 変換 $\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\vec{p} \cdot \vec{r}} \frac{p_i p_j}{p^2} = \frac{1}{3}\delta_{ij}\delta(\vec{r}) + \frac{1}{4\pi r^3}(\delta_{ij} - 3\hat{x}_i\hat{x}_j)$ にデルタ関数項が含まれる理由は何か？ そして、これはどのように厳密に導出できるか？
• RQ3 複数回微分された $1/r$、$1/r^2$、および $\delta(\vec{r})$ の正しい分布的恒等式は何か？
• RQ4 $r=0$ における特異性を伴う状況下で、テンソル構造 $\delta_{ij} - 3\hat{x}_i\hat{x}_j$ の角依存性を一貫して取り扱う方法は何か？
• RQ5 分布的微積分を用いて、恒等式 $\partial_k \left( \left(\delta_{ik}\partial_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}\partial_k \right) \frac{1}{r^2} \right) = \frac{8}{r^4} (\hat{x}_i\hat{x}_j)^2_2$ を厳密に確立できるか？

主な発見

• 変換 $I_d = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\vec{p} \cdot \vec{r}} \frac{p_i p_j}{p^2}$ は、$\frac{1}{3}\delta_{ij}\delta(\vec{r}) + \frac{1}{4\pi r^3}(\delta_{ij} - 3\hat{x}_i\hat{x}_j)$ として厳密に導出され、球対称なデルタ関数項の存在が確認された。
• 恒等式 $\partial_k \left( \left(\delta_{ik}\partial_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}\partial_k \right) \frac{1}{r^2} \right) = \frac{8}{r^4} (\hat{x}_i\hat{x}_j)^2_2$ は分布的恒等式として成り立つことが、$R \to 0$ の極限における表面積分および体積積分によって検証された。
• 3次元デルタ関数は、スイーピング性質および角積分を用いて $\delta(\vec{r}) = \frac{\delta(r)}{4\pi r^2}$ として厳密に確認された。
• 恒等式 $\partial_k \left( \left(\delta_{ik}\partial_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}\partial_k \right) \delta(\vec{r}) \right) = \delta_{ij} \partial_k \partial_k \delta(\vec{r}) - \frac{1}{3} \delta_{ij} \partial_k \partial_k \delta(\vec{r})$ は分布的意味で成り立つことが検証された。
• 関連する $n$ および $\ell$ に対して、径方向積分 $R_{n\ell}(r) = \int_0^\infty dp\, p^{n+2} j_\ell(pr)$ が評価され、すべての形の $I_{n\ell m}(\vec{r})$ 変換の体系的評価が可能になった。
• 本手法は、$I_a = \frac{1}{4\pi r}$ および $I_b = \frac{i x_i}{4\pi r^3}$ といった既知の結果を再現し、高ランクテンソルおよび特異な場合へと拡張した。