[論文レビュー] Three-dimensional Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、正則性構造とパラコントロールド分布を用いて、空間時間白色ノイズで摂動された3次元ナビエ＝ストークス方程式の局所的解の存在および一意性を確立する。これらの高度な確率解析的手法を応用することで、ノイズの特異性を克服し、特異な確率的偏微分方程式の枠組みにおいて適切な解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper we study 3D Navier-Stokes (NS) equation driven by space-time white noise by using regularity structure theory introduced in [Hai14] and paracontrolled distribution proposed in [GIP13]. We obtain local existence and uniqueness of solutions to the 3D Navier-Stokes equation driven by space-time white noise.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズによる強い特異性を持つ確率的外力が作用する3次元ナビエ＝ストークス方程式の適切な解の存在を扱う。
• 正則性構造とパラコントロールド分布の適用範囲を、乗法的ノイズを伴う3次元ナビエ＝ストークス系へ拡張する。
• 流体力学に現れる特異な確率的偏微分方程式のクラスに対して、厳密な解理論を確立する。
• 3次元空間において、空間時間白色ノイズの粗さのため、古典的手法が破綻する問題を克服する。
• 3次元非圧縮性流体における確率的乱流を研究するための基盤的枠組みを提供する。

提案手法

• ハイアー（2014）が開発した正則性構造理論を応用し、3次元ナビエ＝ストークス方程式における特異なノイズを扱う。
• 非線形項における相互作用を制御するための補完的解析的枠組みとして、パラコントロールド分布を用いる。
• 空間時間白色ノイズの正則性とナビエ＝ストークス方程式の非線形構造に適合した解空間を構築する。
• 非線形項における分布の積から生じる発散を管理するため、再正規化技術を適応する。
• 適切な関数空間における不動点定理を用いて、局所的解の存在および一意性を証明する。
• 確率的微積分と決定的偏微分方程式の推定を組み合わせ、乗法的ノイズの存在下での解の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現代の特異な確率的偏微分方程式技法を用いて、空間時間白色ノイズによって駆動される3次元ナビエ＝ストークス方程式は適切な解を持つことができるか？
• RQ2 3次元空間において、ノイズの非線形的かつ特異的性質を扱うのに十分な解析的枠組みは何か？
• RQ3 ノイズの正則性の欠如にもかかわらず、局所的解の存在および一意性は達成可能か？
• RQ4 この文脈において、正則性構造とパラコントロールド分布はどのように相補的または補い合うか？
• RQ5 局所的時間内に解が存在するためのノイズおよび初期データに必要な条件は何か？

主な発見

• 著者らは、空間時間白色ノイズによって駆動される3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、局所的解の存在および一意性を確立する。
• 解は、正則性構造を用いてノイズの不規則性を反映した関数空間に構築される。
• パラコントロールド分布技法が、特異なノイズの存在下での非線形項の制御に成功している。
• 初期データに適切な仮定を置くことで、局所的適切な解の存在が保証される。
• 本研究は、3次元空間において空間時間白色ノイズを伴う確率的流体力学を研究するための厳密な基盤を提供する。
• 本論文は、特異なSPDE分野における長年の課題を解決し、臨界的な流体力学的方程式への理論の拡張を達成した。