[論文レビュー] Three-Dimensional Topological Field Theories and Non-Unitary Minimal Models

Dongmin Gang, Heeyeon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元非ユニタリなトポロジカル場理論（TFT）のクラスと、3次元 ${\cal N}=4$ ランク0超共形場理論（SCFT）のトポロジカルな折りたたみから生じる2次元非ユニタリなバーリンガー最小模型 $M(2,2r+3)$ の間の対応関係を確立する。UV ${\cal N}=2$ ゲージ理論にチャーン・サイモンズ相互作用とモノポールセミポテンシャルを導入し、その分配関数を計算することで、最小模型の特徴関数とモジュラー $S$ および $T$ 行列が再現され、境界RCFTデータがねじれインデックス計算により確認された。

ABSTRACT

We find an intriguing relation between a class of 3-dimensional non-unitary topological field theories (TFTs) and Virasoro minimal models $M(2,2r+3)$ with $r \geq 1$. The TFTs are constructed by topologically twisting $3d$ ${\mathcal N}=4$ superconformal field theories (SCFTs) of rank-0, i.e. having zero-dimensional Coulomb and Higgs branches. We present ultraviolet (UV) field theory descriptions of the SCFTs with manifest ${\mathcal N}=2$ supersymmetry, which we argue is enhanced to ${\mathcal N}=4$ in the infrared. From the UV description, we compute various partition functions of the TFTs and reproduce some basic properties of the minimal models, such as their characters and modular matrices. We expect more general correspondence between topologically twisted $3d$ ${\mathcal N}=4$ rank-0 SCFTs and $2d$ non-unitary rational conformal field theories.

研究の動機と目的

• 3次元非ユニタリなトポロジカル場理論と2次元非ユニタリな有理的 conformal field theory（RCFT）との間の新しい対応関係を確立すること。
• クーロンおよびハイッグス部分空間が次元0である ${\cal N}=4$ ランク0 SCFTに至るUV ${\cal N}=2$ ゲージ理論を構築すること。
• これらの3次元TFTのトポロジカルにねじれた分配関数を計算し、特徴関数やモジュラー行列といった境界RCFTデータを抽出すること。
• 最小模型 $M(2,2r+3)$ のモジュラーデータが、3次元理論のねじれインデックスから出現することを示すこと。
• ランク0 3次元 ${\cal N}=4$ SCFTと非ユニタリ2次元RCFTとの間の広範な対応関係の基盤を築くこと。

提案手法

• 3次元 ${\cal N}=2$ アーベルゲージ理論 ${{\cal T}}_r$ の族を構築し、$r$ 個の $U(1)$ ゲージ群と、$A_r$代数のカルタン行列から導かれる特定のレベル行列 $K_r$ を持つ。
• $A_r$代数の基本根に対応するフラックス $\mathbf{m}_i$ を持つ1/2 BPSモノポール演算子 $V_{\mathbf{m}_i}$ から成るセミポテンシャルを導入する。
• 混合パrameter $\nu = -1$ を用いた $U(1)_R$ 対称性によるトポロジカルな折りたたみを実行し、局所演算子をもたず非ユニタリ構造を持つ3次元TFTを導く。
• ベーテ真空 $u^*_{\alpha}$ と正則関数 ${\cal H}(u^*_{\alpha})$, ${\cal F}(u^*_{\alpha})$ に依存する、$S^1 \times \Sigma_g$ 上でのスレーティング分配関数を、ねじれインデックス形式を用いて計算する。
• ねじれ分配関数を最小模型 $M(2,2r+3)$ のモジュラー不変分配関数と同一視し、$Z = \sum_{\alpha} S_{0\alpha}^{2-2g} T_{\alpha\alpha}^{-p}$ と一致させる。
• ベーテ真空におけるループ演算子 $L_\alpha$ を用いて、$L_\alpha(u^*_\beta) = S_{\alpha\beta}/S_{0\beta}$ により $S$-行列を再構成し、$SL(2,\mathbb{Z})$ 関係および融合規則との整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元非ユニタリなトポロジカル場理論が、トポロジカルにねじられた3次元 ${\cal N}=4$ ランク0 SCFTから生じる場合、2次元非ユニタリなRCFTのモジュラーデータを再現できるか？
• RQ2 チャーン・サイモンズ相互作用とモノポールセミポテンシャルを有するUV ${\cal N}=2$ ゲージ理論のねじれインデックスから、バーリンガー最小模型 $M(2,2r+3)$ の特徴関数とモジュラー行列が出現するか？
• RQ3 3次元理論のベーテ真空と2次元境界RCFTのモジュールとの間に明確な対応関係が存在するか？
• RQ4 最小模型の $S$ および $T$ 行列は、3次元TFTのねじれインデックスおよびループ演算子データから再構成可能か？
• RQ5 どの一般クラスの3次元 ${\cal N}=4$ ランク0 SCFTが、境界で非ユニタリなRCFTを生じさせるか？

主な発見

• $(\nu,\eta)=(-1,1)$ の極限において、3次元TFT ${{\cal T}}_r$ のねじれ分配関数が最小模型 $M(2,2r+3)$ のモジュラー不変分配関数と一致し、$Z = \sum_{\alpha} S_{0\alpha}^{2-2g} T_{\alpha\alpha}^{-p}$ となる。
• $S$-行列要素は、ベーテ真空におけるループ演算子の比から再構成され、$S_{\alpha\beta} = L_\alpha(u^*_\beta) S_{0\beta}$ であり、$S_{0\beta} = \pm 1/\sqrt{{\cal H}(u^*_\beta)}$ である。
• $T$-行列は全体的な位相因子 $\exp(2\pi i \mathbb{Z}/3)$ を除き一意に定まり、最小模型 $M(2,2r+3)$ のモジュラーデータと整合的である。
• 最小模型の特徴関数 $\chi_\alpha(q)$ は、$\chi_\alpha(q) \propto {\cal H}(u^*_\alpha)^{-1}$ として再現され、ここで ${\cal H}$ はねじれインデックス関数である。
• $S$ および $T$ 行列は、3次元TFTデータから正確に計算され、既知のバーリンガー最小模型 $M(2,2r+3)$ のモジュラー行列と完全に一致し、対応関係が確認された。
• この対応関係は $r \geq 1$ に対して安定であり、著者らはこれがより広範なランク0 3次元 ${\cal N}=4$ SCFTと非ユニタリRCFTのクラスに拡張可能であると予想している。