[論文レビュー] Three, four and five-dimensional fullerenes

Michel Deza, Михаил Иванович Штогрин|ArXiv.org|Jun 6, 1999

Fullerene Chemistry and Applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、元来3次元の炭素骨格で5員環および6員環からなるフラーレンを、4次元および5次元へと一般化し、5角形および6角形の2次元面のみをもつ球面的・多面体的多様体を構成する。4次元フラーレンのための3つの構成法を提示し、F_{30}、F_{24}、F_{20}などのフラーレンを用いて構築する。また、双曲的タイル張りを用いて5次元フラーレンを示し、フラーレンの組合せ論的および位相的枠組みを高次元幾何に拡張する。

ABSTRACT

We explore some generalizations of fullerenes F_v (simple polyhedra with v vertices and only 5- and 6-gonal faces) seen as (d-1)-dimensional simple manifolds (preferably, spherical or polytopal) with only 5- and 6-gonal 2-faces. First, finite and planar (infinite) 3-fullerenes are described. Three infinite families of spherical 4-fullerenes are presented in Constructions A,B,C. The Construction A gives 4-polytopes by suitable insertion of fullerenes F_{30}(D_{5h}) into glued 120-cells. The Construction B gives 3-spheres by growing dodecahedra and barrels F_{24} around of given fullerene. The Construction C gives 4-fullerenes from special decoration of given 4-fullerene, which add facets F_{20}, F_{24}, F_{26} and F_{28}(T_d) only. Some 5-fullerenes are obtained, by a variation of gluing of two regular tilings {5333} of hyperbolic 4-space or of their suitable quotients.

研究の動機と目的

• フラーレンの概念—元来5-および6角形面のみをもつ3次元多面体—を、4次元および5次元へと拡張すること。
• 4次元および5次元において、5-および6角形の2次元面のみをもつ球面的および多面体的(d−1)次元多様体を構築すること。
• 幾何学的および位相的手法を用いて、高次元フラーレンの類似物の存在およびその組合せ論的構造を探ること。
• 既知の3次元フラーレンを、4次元フラーレンの無限族へ一般化し、双曲的幾何を用いて特定の5次元フラーレンを構築すること。

提案手法

• 構成法Aは、120-cellを接合した構造にF_{30}(D_{5h})フラーレンを挿入することで4次元多面体を生成する。
• 構成法Bは、基盤となるフラーレンの周囲にドデカヘドロンとF_{24}バーレルを成長させることで3次元球面を構築する。
• 構成法Cは、与えられた4次元フラーレンに、F_{20}、F_{24}、F_{26}、およびF_{28}(T_d)の特定の面を追加することで装飾する。
• 正則な双曲的4次元空間タイル張り{5^333}またはその商空間を変形して接合することで、5次元フラーレンが得られる。
• 本稿では、すべての2次元面が5角形または6角形であることを保証するため、組合せ論的および位相的技法を用いる。
• これらの構成法は、組合せ論的解析と球面的および双曲的空間における幾何的実現を通じて検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元フラーレンは、5-および6角形の2次元面のみをもつ4次元および5次元構造へ一般化可能か？
• RQ2 高次元フラーレンを構築するための組合せ論的および位相的制約は何か？
• RQ3 既知の3次元フラーレンをブロックとして用いて、4次元フラーレンを体系的に生成する方法は何か？
• RQ4 対称的多面体およびタイル張りは、5次元フラーレンの構築においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 既知の3次元フラーレンに類似した、無限族の球面的4次元フラーレンは存在するか？

主な発見

• 構成法A、B、Cを用いて、3次元フラーレンの性質を4次元へ拡張した、球面的4次元フラーレンの3つの無限族が構成された。
• 構成法Aは、120-cellを接合した構造にF_{30}(D_{5h})を挿入することで4次元多面体を生成し、5-および6角形面の条件を保った。
• 構成法Bは、基盤となるフラーレンの周囲にドデカヘドロンとF_{24}バーレルを成長させることで3次元球面を生成し、球面的位相を維持した。
• 構成法Cは、基盤となる4次元フラーレンにF_{20}、F_{24}、F_{26}、およびF_{28}(T_d)の面のみを追加することで、新たな4次元フラーレンを生成した。
• 正則な双曲的4次元空間タイル張り{5^333}またはその商空間を変形して接合することで、5-および6角形の2次元面のみをもつ有効な5次元フラーレンが得られた。
• 本稿では、組合せ論的および幾何的技法を用いて高次元フラーレンを体系的に構築できることを確立し、3次元の枠組みを一般化した。