[論文レビュー] Three Lectures on Automatic Structures

Bakhadyr Khoussainov, Mia Minnes|ArXiv.org|Sep 19, 2008

semigroups and automata theory参考文献 41被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、語、木、 Büchi、Rabinオートマトンを用いた自動構造に関する包括的なチュートリアルを提示し、オートマトン理論、モデル理論、記述的集合論の間の関係を確立する。Büchi自動構造は定義可能な商に関して閉じているが、Rabin自動構造はそうではないことが示され、Büchi-recognizable同値関係による商がBüchi認識不能であるBüchi自動構造の存在が証明される—これは、ほとんど等価性の集合に基づくBorel非普遍性の議論を用いて行われる。

ABSTRACT

This paper grew out of three tutorial lectures on automatic structures given by the first author at the Logic Colloquium 2007. We discuss variants of automatic structures related to several models of computation: word automata, tree automata, Buchi automata, and Rabin automata. Word automata process finite strings, tree automata process finite labeled trees, Buchi automata process infinite strings, and Rabin automata process infinite binary labeled trees. Automatic structures are mathematical objects which can be represented by (word, tree, Buchi, or Rabin) automata. The study of properties of automatic structures is a relatively new and very active area of research.

研究の動機と目的

• 語、木、Büchi、Rabinオートマトンを用いた自動構造の基礎的チュートリアルの提供。
• 整礎部分順序、ブール代数、線形順序、木、有限生成群などのクラスにおける同型不変量の調査。
• 位相（Borel階層）、モデル理論（Scott順序）、計算可能性（Σ₁¹完全性）、計算複雑性（P）を用いた自動構造の複雑性の分析。
• 記述的集合論における自動構造とBorel構造との間の関係の確立。
• Büchi-recognizable同値関係によるBüchi自動構造の商がBüchi認識不能であることを示す—非Borel関数の構成を用いて。

提案手法

• 有限または無限の文字列およびラベル付き木上の語、木、Büchi、Rabinオートマトンを用いた自動構造の形式的定義。
• 有限状態オートマトンによって領域および関係が認識されることを保証する、オートマトンによる関係および関数の認識。
• 記述的集合論の道具、特にFact 3.6の使用により、非Borel関数が存在することを示し、これにより非Büchi認識可能な商が存在することを示す。
• 自然数の冪集合の2つのコピーの直和としてのBüchi自動構造の構成—ほとんど等価性に関する商への標準的射影を伴って。
• 背理法による証明：商のBüchiオートマトン表現を仮定すると、P(ℕ)から{0,1}^ωへのBorel関数がほとんど等価性を保つことになり、Fact 3.6に矛盾する。
• 同型定理およびBorelグラフ表現を活用し、特定の誘導写像がBorelでなければならないことを示し、これにより矛盾に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Büchi自動構造は、Büchi-recognizable同値関係による定義可能な商に関して閉じているか？
• RQ2 記述的集合論におけるBüchi自動構造とBorel構造の関係は何か？
• RQ3 Rabin自動構造でBüchi自動構造でないものがあるか？もしあるならば、その証明は？
• RQ4 ブール代数や有限生成群などの自動構造に対して、同型不変量を効果的に計算できるか？
• RQ5 自動構造の正確な複雑性境界は、計算可能構造と比較してどうなるか？

主な発見

• Büchi-recognizable同値関係による商がBüchi認識不能であるBüchi自動構造が存在する—これは、Büchi自動性が商に関して保存されないことを示している。
• 関係する商構造はBorelでないため、Fact 3.4により、Büchiオートマトン表現を持つことはできない。
• ほとんど等価性（X =⋆ Y）を保つ非Borel関数 F: P(ℕ) → {0,1}^ω が存在する—これはFact 3.6に反するが、そのようなBorel関数の存在を否定する。
• Rabin自動構造はBüchi自動構造でないことがある—無限二進木上のRabin-recognizable単項述語VがBorelでない構造によって示される。
• 商構造 (P(ℕ) ⊔ P(ℕ)/=⋆) の同型型は、元の構造と同値関係がともにBüchi認識可能であっても、Büchi認識不能である。
• Borel写像 G と R′ の合成により得られるBorel関数 F は、ほとんど等価性を保つはずだが、Fact 3.6に矛盾する。これにより、商の認識不能性が証明される。