[論文レビュー] Three-stage thermalisation of a quasi-integrable system

Leonardo Biagetti, Guillaume Cecile+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2023

Astro and Planetary Science被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非一様な外部場下での1次元古典的ハードロッドガスにおける3段階の熱化過程を調査し、初期にエーラー流体力学的段階が続き、その後にべき乗則に従う運動量分布の崩壊を示す乱流的段階が続き、最終的に粘性流体力学的段階に移行して拡散的に熱化が進行することを示した。主な貢献は、擬似可積分系におけるこの3段階的ダイナミクスの普遍的同定であり、粘性一般化流体力学（vGHD）は初期段階および最終段階を正確に記述できるが、乱流的段階では勾配爆発のため失敗することを示した。

ABSTRACT

We consider a system of classical hard rods or billiard balls in one dimension, initially prepared in a Bragg-pulse state at a given temperature and subjected to external periodic fields. We show that at late times the system always thermalises in the thermodynamic limit via a 3-stages process characterised by: an early phase where the dynamics is well described by Euler hydrodynamics, a subsequent where a (weak) turbulent phase is observed and where hydrodynamic gradient expansion can be broken, and a final one where the gas thermalises according to a viscous hydrodynamics. As the hard rod gas shares the same large-scale hydrodynamics as other quantum and classical integrable systems, we expect these features to universally characterise all many-body integrable systems in generic external potentials.

研究の動機と目的

• 外部の非一様ポテンシャル下における擬可積分多体系の非平衡ダイナミクスおよび熱化への到達を理解すること。
• 周期的外部場を有するような可積分性が破れた系における普遍的熱化経路を特定すること。
• 特に乱流的段階において、粘性一般化流体力学（vGHD）の有効性を、異なる力学的領域において検証すること。
• 弱い可積分性破れの摂動を受ける可積分系における熱化を研究するための最小モデルとしてのハードロッドガスを確立すること。

提案手法

• 系をリング上に配置された有限直径dの古典的ハードロッド（ビリヤードボール）としてモデル化し、位置に依存する質量m(x)およびポテンシャルV(x)を有するハミルトニアンに従う。
• m(x) = (1 + m₀ cos(2πx/ℓ)/m)⁻¹およびV(x) = V₀ cos(2πx/ℓ)を導入することで、量子系における有効質量およびトラップを模倣する周期的外部場を導入する。
• 大スケールの流体的挙動を記述するため、一般化流体力学（GHD）および粘性GHDを適用し、準粒子軌道の分散から得られる分散行列を用いて拡散行列を導出する。
• 密度および速度のフラクチュエーションから得られる準粒子軌道の分散を用いて位相空間における拡散を計算し、分散行列diag(𝒟[ρ]⁽ⁱʲ⁾)を導出する。
• 有効速度v^eff(θ)および有効加速度a^eff(θ)を用いて運動量および位置の分散寄与を計算し、運動量空間にわたって統合する。
• 全位相空間における拡散テンソルを、時間tと分散行列の対角成分の積として導出し、準粒子分布の時間に比例する広がり（線形増大）を示した。

Figure 1: Comparison of kurtosis of the spacially integrated $\rho(\theta,x,t)$ of the exact hard rod gas dynamics (HR) with $d=1$ , and its diffusive GHD prediction, eq. ( 3 ) (the inviscid, Euler hydrodynamics at short times is also reported in black), with (a,b,c) $V_{0}=0.5,m_{0}=0$ and (d,e) $V

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的外部場を有する擬可積分系は、熱力学的極限において熱化するか？
• RQ2 熱化ダイナミクスは普遍的に3つの明確な流体力学的段階に分解可能か？
• RQ3 系の時間発展における乱流的段階において、粘性一般化流体力学（vGHD）はどの程度失敗するか？
• RQ4 乱流的段階において運動量分布のフーリエ変換はどのように振る舞い、エネルギーカスケードに関する何を示唆するか？
• RQ5 初期運動量分布の滑らかさ（例：高温）が乱流的段階を抑制する条件は何か？その場合、vGHDが全熱化過程を記述可能になるか？

主な発見

• 系は熱力学的極限において、3段階のプロセス（エーラー流体力学的段階、べき乗則に従う運動量分布の崩壊を示す乱流的段階、粘性流体力学的段階）を経て普遍的に熱化する。
• 乱流的段階では、運動量分布のフーリエ変換がべき乗則に従って崩壊し、2次元波乱流の体系的記述と整合的である。
• 粘性一般化流体力学（vGHD）は初期のエーラー段階および最終の熱化段階を正確に記述できるが、乱流的段階では勾配爆発のため失敗する。
• 準粒子の位相空間軌道分散は時間に比例して拡散的に増大し、その係数は分散行列𝒟[ρ]⁽ⁱʲ⁾の対角成分で与えられる。
• 初期運動量分布が滑らか（例：高温）である場合、乱流的段階が抑制され、vGHDが全熱化過程を記述可能になる。
• 古典的性質を持つハードロッドガスは、量子的および古典的可積分系と同一のスケールの流体力学的挙動を示し、普遍的な熱化経路を示唆している。

Figure 2: GHD evolution, eq. ( 3 ), with $m_{0}=0$ and $V_{0}=0.5$ and $\ell=80$ , initialised in a Bragg pulse state with $T_{0}=0.01$ : (top) density plot of the density $\rho(\theta,x,t)$ as function of momentum $\theta$ and position $x$ at different times, for rods with length $d=1$ . (bottom) L