[論文レビュー] Threshold and strong threshold solutions of a semilinear parabolic equation

Pavol Quíttner|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ p > 1 + 2/n $ を満たす $ \mathbb{R}^n $ 上の非線形放物型方程式 $ u_t - \Delta u = u^p $ に対して、しきい値解および強しきい値解の存在と分類を確立する。任意の $ p > p_F $ に対して、弱および強しきい値解が存在することを証明しており、強しきい値解は、自己相似的プロファイルとして得られるが、小さな摂動に対して不安定である。また、バレンブラット型スケーリングに関連する臨界減衰率 $ L^* $ を用いて、爆発または大域的定常性の挙動を特徴づける。

ABSTRACT

If $p>1+2/n$ then the equation $u_t-Δu = u^p, \quad x\in{\mathbb R}^n,\ t>0,$ possesses both positive global solutions and positive solutions which blow up in finite time. We study the large time behavior of radial positive solutions lying on the borderline between global existence and blow-up.

研究の動機と目的

• 非線形放物型方程式 $ u_t - \Delta u = u^p $ の径数的正の解を、大域的定常性と有限時刻爆発の境界に位置するものとして分類すること。
• このようなしきい値解が弱であるか強であるか、すなわち初期データの小さな摂動に対して安定であるか否かを特定すること。
• 強しきい値解の存在を確立する——任意の上臨界摂動に対して爆発し、任意の下臨界摂動に対して大域的に定義される解である。
• 初期データの臨界減衰率 $ L^* $ を、しきい値挙動を決定づけるものとして特徴づけること。

提案手法

• 初期データの乗法的摂動における安定性に基づき、しきい値解および強しきい値解の概念を導入する。
• 自己相似解 $ u(x,t) = t^{-1/(p-1)} w(|x|/\sqrt{t}) $ の形を用いて、長時間挙動を解析し、変換された常微分方程式を満たすプロファイル $ w $ を導出する。
• 比較原理および $ L^\infty $ における連続的依存性を用いて、しきい値レベルより上または下の初期データを持つ解を比較する。
• 自己相似プロファイル周りの線形化作用素の重み付き固有関数 $ \phi $ を用いて、爆発を誘発する小さな摂動を構成する。
• 摂動された解の時間発展を自己相似変数で解析し、解がしきい値にある場合に小さな正の摂動が爆発を引き起こすことを示す。
• $ p \geq p_S $ および $ p < p_{JL} $ の場合に、$ w $ より大きな定常状態が存在しないことを利用して、正の定常状態への収束を除外し、爆発を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界定常成長 $ p > 1 + 2/n $ を満たす場合、任意の上臨界摂動に対して爆発し、任意の下臨界摂動に対して大域的に定義される強しきい値解が存在するか？
• RQ2 大域的定常性と有限時刻爆発を分かつ初期データの、無限遠における正確な減衰率は何か？
• RQ3 $ p < p_{JL} $ と $ p \geq p_{JL} $ の場合に、しきい値解の挙動はどのように異なるか？特に安定性および長時間ダイナミクスの観点から。
• RQ4 自己相似解プロファイルを用いて、摂動解析によって強しきい値解を構成できるか？
• RQ5 初期データが $ |x|^{-2/(p-1)} $ のように減衰する場合、どのような条件下で解が大域的に定義されるか、または爆発するか？

主な発見

• 任意の $ p > p_F = 1 + 2/n $ に対して、弱および強しきい値解が存在し、以前に確認されていなかった存在問題を解決する。
• 初期データの臨界減衰率 $ L^* $ は、$ p < p_{JL} $ の場合 $ L^*(n,p) > L(n,p) $ を満たし、$ p \geq p_{JL} $ の場合 $ L^*(n,p) = L(n,p) $ を満たす。ここで $ L(n,p) $ は特異定常状態の係数である。
• 初期データが $ u_0(x)|x|^{2/(p-1)} \leq L^* $ を満たす解は、大域的に定義され、$ t^{-1/(p-1)} $ の速度で減衰する。
• 初期データが $ \liminf_{|x|\to\infty} u_0(x)|x|^{2/(p-1)} > L^* $ を満たす解は、有限時刻で爆発する。
• 方程式 $ w $ が定常常微分方程式を満たす自己相似解 $ \tilde{u}(x,t) = t^{-1/(p-1)} w(|x|/\sqrt{t}) $ は、任意の $ t_0 > 0 $ に対して強しきい値解である。その摂動は爆発を引き起こす。
• $ p \geq p_S $ の場合、線形化作用素の正の径数的減少で $ L^1 $-可積分な固有関数 $ \phi $ が存在するため、任意に小さな摂動を構成でき、それらが爆発を誘発する。これにより強しきい値挙動が確認される。