[論文レビュー] Throttling numbers for adversaries on connected graphs

Jesse Geneson|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、木のスロットリング数に関する2つの未解決問題を解消し、木のスロットリング数に対するよりタイトな上界 $rac{\\-sqrt{14}}{2}\ ceil n + O(1)$ を証明することで、以前の $2\ ceil n$ の境界を改善した。また、カスケットグラフに対しても $O(\ ceil n)$ の境界を確立し、特定の木に対して $1.4502\ ceil n$ の新たな下界を提示した。これにより、$2\ ceil n$ の予想が漸近的に成り立たないことが示された。

ABSTRACT

In this paper, we answer two open problems from [Breen et al., Throttling for the game of Cops and Robbers on graphs, Discrete Math., 341 (2018) 2418-2430]. The throttling number $th_c(G)$ of a graph $G$ is the minimum possible value of $k + capt_k(G)$ over all positive integers $k$, where $capt_k(G)$ is the number of rounds needed for $k$ cops to capture the robber on $G$. One of the problems from [Breen et al., 2018] was to determine whether there exists a family of trees $T$ of order $n$ for which $th_c(T)$ is asymptotically equal to $2 \sqrt{n}$. We show that such a family cannot exist by improving the upper bound on $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ for all trees $T$ of order $n$ from $2 \sqrt{n}$ to $\frac{\sqrt{14}}{2} \sqrt{n} + O(1)$. We prove this bound by deriving a more general throttling bound for connected graphs that applies to multiple graph adversaries, including the robber and the gambler. This also improves the best known upper bounds on $th_c(G)$ for chordal graphs and unicyclic graphs $G$, as well as throttling numbers for positive semidefinite (PSD) zero forcing on trees. In addition to the results about cop versus robber, we use our general throttling bound to improve previous upper bounds on throttling numbers for the cop versus gambler game on connected graphs. Another open problem from [Breen et al., 2018] was to obtain a bound on $th_c(G)$ for cactus graphs $G$. We prove an $O(\sqrt{n})$ bound for all cactus graphs $G$ of order $n$. Furthermore, we exhibit a family of trees $T$ of order $n$ that have $th_c(T) > 1.4502 \sqrt{n}$ for all $n$ sufficiently large, improving on the previous lower bound of $\lceil \sqrt{2n}-\frac{1}{2} ceil + 1$ on $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ for trees $T$ of order $n$.

研究の動機と目的

• 任意の木の族がスロットリング数を漸近的に $2\ ceil n$ に等しく持つかどうかという未解決問題を解消すること。
• 木、弦的グラフ、ユニサイクルグラフ、カスケットグラフのスロットリング数に対するよりタイトな上界を確立すること。
• すべての順序 $n$ の木 $T$ に対する最大スロットリング数の既知の下界を改善すること。
• 統一的な解析的手法を用いて、ローバーやギャンブラーを含む複数の敵対者に対するスロットリング枠組みを拡張すること。

提案手法

• コプ・アンド・ローバーおよびコプ・アンド・ギャンブラー・ゲームを含む、複数のグラフ的敵対者に適用可能な一般化されたスロットリング境界を導出する。
• スパイダーの脚から長さ $\lfloor r\ ceil n\rfloor$ の区間を切り取る幾何的分割戦略を用いて、捕獲時間とコプの数を制限する。
• グラフ構造全体にわたるコプ数と捕獲時間のバランスを最適化することで、$k + \operatorname{capt}_k(G)$ を最小化するための最適化技法を適用する。
• 下界を導出するために、$\lfloor a\ ceil n\rfloor$ 個の短い脚（長さ $\lfloor c\ ceil n\rfloor$）と1本の長い脚を持つ非対称スパイダーを構築する。
• 短い脚が初期にコプによって占拠されているかどうかに基づくケース別分析を用いて、スロットリング数を制限する。
• 木におけるコプ・アンド・ローバーのスロットリングと正定値（PSD）ゼロフォースティングのスロットリングの既知の同等性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スロットリング数 $\operatorname{th_c}(T)$ が漸近的に $2\ ceil n$ に等しいような木の族が存在するか？
• RQ2 カスケットグラフのスロットリング数が $O(\ ceil n)$ で抑えられるか？
• RQ3 すべての順序 $n$ の木 $T$ に対する $\max_T \operatorname{th_c}(T)$ の最良の可能な下界は何か？
• RQ4 ローバーやギャンブラーのような複数の敵対者に適用可能な統一的なスロットリング境界を導出できるか？
• RQ5 任意の脚長を持つスパイダーのスロットリング数のタイトな上界は何か？

主な発見

• 任意の順序 $n$ の木 $T$ に対して、スロットリング数は $\frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$ 以下である。これは、以前の上界 $2\sqrt{n}$ よりも改善されたものである。
• すべての順序 $n$ のカスケットグラフ $G$ に対して $\operatorname{th_c}(G) = O(\sqrt{n})$ が成り立ち、Breen ら（2018）が提起した未解決問題を解決した。
• 非対称スパイダー $S_{n,a,c}$ の族は、十分に大きな $n$ に対して $\operatorname{th_c}(S_{n,a,c}) > 1.4502\sqrt{n}$ を満たし、以前の下界 $\left\lceil \sqrt{2n} - \frac{1}{2} \right\rceil + 1$ を改善した。
• 任意の順序 $n$ のスパイダー $S$ に対して $\operatorname{th_c}(S) \leq \sqrt{3}\sqrt{n} + O(1)$ が成り立ち、脚の長さが不均一なスパイダーを含め、すべてのスパイダーに適用可能である。
• 一般化されたスロットリング境界技法はローバーを超えて、ギャンブラーなどの他の敵対者にも適用可能であり、期待捕獲時間に関する既知の上界を改善した。
• 結果は、木における正定値（PSD）ゼロフォースティングのスロットリングにも拡張され、すべての木 $T$ に対して $\operatorname{th_+}(T) \leq \frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$ が成り立つことが確認された。