[論文レビュー] Tidal evolution of the Keplerian elements

Gwenaël Boué, Michael Efroimsky|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Astro and Planetary Science参考文献 48被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、両方の天体に潮汐を含む2体系におけるケプラー軌道要素（a, e, i）の潮汐進化率を再導出しており、特にKaula（1964）の式に誤りがあったのを是正している。半長径と離心率の進化率は両方の天体からの寄与を線形に足し合わせられるが、角運動量保存および近日点進動の平均化のため、傾きの進化率 di/dt には非自明な補正が必要であり、これにより冗長な M/(M+M') 要素が取り除かれ、主星の赤道面の調整に起因する新たな項が含まれるようになった。

ABSTRACT

We address the expressions for the rates of the Keplerian orbital elements within a two-body problem perturbed by the tides in both partners. The formulae for these rates have appeared in the literature in various forms, at times with errors. We reconsider, from scratch, the derivation of these rates and arrive at the Lagrange-type equations which, in some details, differ from the corresponding equations obtained previously by Kaula (1964). We also write down detailed expressions for $da/dt$, $de/dt$ and $di/dt$, to order $e^4$. They differ from Kaula's expressions which contain a redundant factor of $M/(M+M^{\prime}),$ with $M$ and $M^{\prime}$ being the masses of the primary and the secondary. As Kaula was interested in the Earth-Moon system, this redundant factor was close to unity and was unimportant in his developments. This factor, however, must be reinstated when Kaula's theory is applied to a binary composed of partners of comparable masses. We have found that, while it is legitimate to simply sum the primary's and secondary's inputs in $da/dt$ or $de/dt$, this is not the case for $di/dt$. So our expression for $di/dt$ differs from that of Kaula in two regards. First, the contribution due to the dissipation in the secondary averages out when the apsidal precession is uniform. Second, we have obtained an additional term which emerges owing to the conservation of the angular momentum: a change in the inclination of the orbit causes a change of the primary's plane of equator.

研究の動機と目的

• 両方の天体に潮汐を含む2体系におけるケプラー軌道要素（a, e, i）の潮汐進化率を再導出し、先行研究における不整合を是正すること。
• Kaula（1964）の da/dt, de/dt, di/dt の式に含まれる冗長な M/(M+M') 要素を特定・是正すること。これは地球-月系では無視可能だが、同等質量の二重星系では重要である。
• 角運動量保存および近日点進動の平均化を考慮することで、di/dt の非自明な振る舞いを解明し、単純な重ね合わせが成立しないことを示すこと。
• 潮汐品質関数、ロー数、および軌道パラメータで表される、da/dt, de/dt, di/dt の高次（e⁴ まで）の明示的表現を提供すること。
• 非慣性（共回転）フレームにおける軌道要素のフレーム依存性を明確にし、そのような状況でのラグランジュ型方程式の誤用を是正すること。

提案手法

• Kaula（1964）の任意の rheology に対する展開を用いて、潮汐摂動ポテンシャルを再導出し、省かれたステップを補完し、暗黙の近似を特定すること。
• Kaulaが用いた M≫M' の仮定を避けるために、換算質量 β = MM'/(M+M') を用いた一般化された2体運動方程式を採用すること。
• 共回転フレームにおけるラグランジュの惑星方程式を適用し、非慣性効果を補正するため、標準の摂動関数を超える追加項を含めること。
• 時間微分（da/dt, de/dt, di/dt）を、正準変数に関する摂動関数の微分により計算し、潮汐駆動のフーリエモード展開を用いること。
• di/dt における非線形結合を、ω, Ω, i, i′ 依存性の分析により扱い、均一な近日点進動下で消える項を特定すること。
• 長周期項は J₂ ポテンシャル寄与を含め、平均近点角で平均化することで、di/dt の長期的および振動的成分を分離すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kaula（1964）の di/dt 式に冗長な M/(M+M') 要素が含まれる理由は何か？ これはどのような条件下で顕著になるか？
• RQ2 da/dt と de/dt における潮汐寄与の単純重ね合わせが有効な条件は何か？ なぜ di/dt では失敗するのか？
• RQ3 具体的に角運動量保存と近日点進動が、Kaulaの式に存在しない新たな項を di/dt に生じさせる物理的メカニズムは何か？
• RQ4 da/dt, de/dt, di/dt が離心率 e に対して O(e⁴) までどのように依存するか？ また、主要な駆動周波数は何か？
• RQ5 第二天体の潮汐散逸が主星の傾き進化に果たす役割は何か？ なぜ均一な近日点進動下では平均化されるのか？

主な発見

• di/dt の式は Kaula（1964）とは本質的に異なり、2つの要因に起因する：第二天体の潮汐散逸寄与は均一な近日点進動下で平均化され、主星の赤道面が軌道傾きの変化に応じてずれることに起因する新たな項が生じる。
• 同等質量の二重星系に理論を適用する際には、Kaulaの式に含まれる冗長な M/(M+M') 要素を除去する必要がある。これは da/dt, de/dt, di/dt に顕著な誤差をもたらす。
• da/dt と de/dt については、主星と第二天体の寄与を線形に足し合わせられるが、di/dt についてはフレーム依存性および非線形結合効果のため、これは成立しない。
• di/dt の一次近似式には、sin i に比例する項と、潮汐品質関数 K₂(ω) に依存する項が含まれ、周波数依存の駆動（例：K₂(n−2θ), K₂(2n−2θ) など）に加え、主星の自転速度 ˙θ を含む新たな項が存在する。
• 本稿では、e⁴ までの高精度な明示的表現を提供しており、(lmpq) = (220q), (210q), (211q) モードの寄与を含み、離心率および傾き補正を施している。
• di/dt の長周期振動項は、J₂ ポテンシャルを含め、平均近点角で平均化することで導出され、第二天体の重力ポテンシャルおよび潮汐応答に起因する追加の変調が明らかになった。