[論文レビュー] Tight Analysis of Priority Queuing Policy for Egress Traffic

Jun Kawahara, Koji Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複数の優先度レベルを備えたQoSスイッチにおける出力トラフィックの優先キューイング（PQ）ポリシーについて、きめ細やかな競争的分析を提供する。PQの正確な競争比は $2 - \min_{x \in [1,m-1]} \left\{ \frac{\alpha_{x+1}}{\sum_{j=1}^{x+1} \alpha_j} \right\}$ であると導出され、任意の決定的オンラインアルゴリズムに対して、$1 + \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha}{\alpha^4 + 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 4\alpha + 1}$ の一致する下界が確立され、このポリシーにおける最悪ケース解析のギャップが閉じられた。

ABSTRACT

Recently, the problems of evaluating performances of switches and routers have been formulated as online problems, and a great amount of results have been presented. In this paper, we focus on managing outgoing packets (called {\em egress traffic}) on switches that support Quality of Service (QoS), and analyze the performance of one of the most fundamental scheduling policies {\em Priority Queuing} ($PQ$) using competitive analysis. We formulate the problem of managing egress queues as follows: An output interface is equipped with $m$ queues, each of which has a buffer of size $B$. The size of a packet is unit, and each buffer can store up to $B$ packets simultaneously. Each packet is associated with one of $m$ priority values $α_{j}$ ($1 \leq j \leq m$), where $α_{1} \leq α_{2} \leq \cdots \leq α_{m}$, $α_{1} = 1$, and $α_{m} = α$ and the task of an online algorithm is to select one of $m$ queues at each scheduling step. The purpose of this problem is to maximize the sum of the values of the scheduled packets. For any $B$ and any $m$, we show that the competitive ratio of $PQ$ is exactly $2 - \min_{x \in [1, m-1] } \{ \frac{ α_{x+1} }{ \sum_{j = 1}^{x+1} α_{j} } \}$. That is, we conduct a complete analysis of the performance of $PQ$ using worst case analysis. Moreover, we show that no deterministic online algorithm can have a competitive ratio smaller than $1 + \frac{ α^3 + α^2 + α}{ α^4 + 4 α^3 + 3 α^2 + 4 α+ 1 }$.

研究の動機と目的

• QoSスイッチにおける出力パケット（出力トラフィック）の管理を、競争的分析を用いて優先キューイング（PQ）ポリシーの性能を分析すること。
• 複数の優先度レベルと有限バッファサイズを考慮した状況下で、最悪入力シーケンスにおけるPQの正確な競争比を導出すること。
• 同じモデルにおける任意の決定的オンラインアルゴリズムの競争比に対する下界を確立すること。
• このスケジューリング設定における、上界（PQの性能）と下界（最良の決定的アルゴリズム）のギャップを閉じること。

提案手法

• m個の優先度キュー（各キューのサイズはB）を備えた出力トラフィック管理を、α₁ ≤ α₂ ≤ ... ≤ αₘ という値を持つパケットを伴うオンライン問題として形式化する。
• 最悪ケースシナリオにおけるオンラインアルゴリズム（ON）と最適オフラインアルゴリズム（OPT）の性能を比較する競争的分析を用いる。
• パケットの到着とスケジューリングイベントの時間的進行を考慮し、OPT対ON性能比を最大化する敵対的入力シーケンスを構築する。
• すべての可能な敵対的構成に対して最大性能比の最小値を求めるプロセスを通じて、競争比を導出する。
• 敵対的構成におけるx, y, zの臨界値を求める最適化技法を適用し、競争比式の最小化を実行する。
• すべての決定的オンラインアルゴリズムの最悪ケース性能を分析することで下界を導出し、αを含む閉形式の式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m個の優先度キューと有限バッファサイズBを備えたスイッチにおける出力トラフィックの優先キューイング（PQ）ポリシーの正確な競争比は何か？
• RQ2 PQの競争比はタイトに束縛可能であり、その性能と理論的下界のギャップを埋めることは可能か？
• RQ3 この出力トラフィックスケジューリングモデルにおいて、任意の決定的オンラインアルゴリズムが達成可能な最良の競争比は何か？
• RQ4 PQの競争比は、特に連続する優先度間の比に依存してどのように変化するか？
• RQ5 この分析を可変サイズパケットや公平性などの異なる目的関数（パケット値の和ではなく）に拡張することは可能か？

主な発見

• 優先キューイング（PQ）の競争比は正確に $2 - \min_{x \in [1,m-1]} \left\{ \frac{\alpha_{x+1}}{\sum_{j=1}^{x+1} \alpha_j} \right\}$ であり、これは連続する優先度レベルの相対的値に依存する。
• この競争比はタイトである。つまり、与えられたモデル下で、PQの性能比を悪化させるような敵対的入力シーケンスは存在しない。
• 任意の決定的オンラインアルゴリズムに対して、$1 + \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha}{\alpha^4 + 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 4\alpha + 1}$ の下界が証明され、最悪ケースにおいて、いかなるアルゴリズムもこれより良い比を達成できないことが示された。
• 上界（PQの性能）と下界のギャップが閉じられ、PQがこのモデルにおいて競争的分析の意味で最適であることが確立された。
• 分析から、PQの最悪ケース性能は、高優先度と低優先度の値の比に極めて敏感であることが明らかになった。特にαが大きい場合に顕著である。
• 導出された下界は1より大きい。これは、完全な優先度情報が与えられても、いかなる決定的オンラインアルゴリズムもすべての状況で最適であるとは限らないことを示している。