[論文レビュー] Tight Approximation Algorithms For Geometric Bin Packing with Skewed Items

Arindam Khan, Eklavya Sharma|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Optimization and Packing Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、幅と高さの両方が定数δから離れている（「スケールが偏った」）長方形からなる2次元幾何学的バインディングパッキング（2BP）問題に対して、(4/3 + ε)-漸近的近似アルゴリズムを提示する。この手法は、分数線形計画法と貪欲な割り当てを組み合わせた新規なコンパートメントパッキングフレームワークを用い、タイトな境界を達成する。これにより、スケールが偏ったインスタンスにおける漸近的ギロチン分割可能価格（APoG）が正確に4/3であることが証明され、分野における重要な予想が解決された。

ABSTRACT

In the Two-dimensional Bin Packing (2BP) problem, we are given a set of rectangles of height and width at most one and our goal is to find an axis-aligned nonoverlapping packing of these rectangles into the minimum number of unit square bins. The problem admits no APTAS and the current best approximation ratio is 1.406 by Bansal and Khan [SODA'14]. A well-studied variant of the problem is Guillotine Two-dimensional Bin Packing (G2BP), where all rectangles must be packed in such a way that every rectangle in the packing can be obtained by recursively applying a sequence of end-to-end axis-parallel cuts, also called guillotine cuts. Bansal, Lodi, and Sviridenko [FOCS'05] obtained an APTAS for this problem. Let λ be the smallest constant such that for every set I of items, the number of bins in the optimal solution to G2BP for I is upper bounded by λ opt(I) + c, where opt(I) is the number of bins in the optimal solution to 2BP for I and c is a constant. It is known that 4/3 ≤ λ ≤ 1.692. Bansal and Khan [SODA'14] conjectured that λ = 4/3. The conjecture, if true, will imply a (4/3+ε)-approximation algorithm for 2BP. According to convention, for a given constant δ > 0, a rectangle is large if both its height and width are at least δ, and otherwise it is called skewed. We make progress towards the conjecture by showing λ = 4/3 for skewed instance, i.e., when all input rectangles are skewed. Even for this case, the previous best upper bound on λ was roughly 1.692. We also give an APTAS for 2BP for skewed instance, though general 2BP does not admit an APTAS.

研究の動機と目的

• 2BPのスケールが偏ったインスタンスにおける漸近的ギロチン分割可能価格（APoG）が正確に4/3であるという予想を解決すること。
• 一般問題がAPTASを許容しないにもかかわらず、スケールが偏ったアイテムに制限された2BPの漸近的多項式時間近似スキーム（APTAS）を開発すること。
• すべての長方形が両方の次元でゼロから離れているスケールが偏ったインスタンスにおいて、APoGの上界を約1.691から4/3に改善すること。
• 一般問題がAPTASを許容しないにもかかわらず、スケールが偏ったケースにおける2BPのタイトな近似アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 大きなアイテムと中くらいのアイテム向けのコンパートメントに分割されたバインディングを用いるコンパートメントパッキングフレームワークを提案。小さなアイテムはコンテナベースの貪欲な割り当てによりパックする。
• 分数線形計画法（FPWおよびFPH）を用いて、大きなアイテムと高いアイテムがコンパートメントにパック可能かどうかを検証し、最適解を貪欲なパッキング手順の入力として使用する。
• 実数値のアイテムサイズを有理数近似に変換するラウンド化手順を適用し、パッキングの有限な列挙を可能にする。
• コンパートメントパッキング後、残存する中くらいおよび小さなアイテムをNext-Fit Decreasing Height（NFDH）アルゴリズムでパックする。
• 未割り当て領域がコンテナ面積のε²倍以下に抑えられるように、貪欲なコンテナ割り当て戦略を導入し、無駄を最小限に抑える。
• 両方の次元で下限があるというスケールが偏ったアイテムの構造を活用し、異なるコンfigurationの数を制限し、コンパートメントパッキングの効率的な列挙を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2BPのスケールが偏ったインスタンスにおける漸近的ギロチン分割可能価格（APoG）が正確に4/3であることを証明できるか？
• RQ2 すべてのアイテムがスケールが偏っている場合に、2BPに対して(4/3 + ε)-漸近的近似アルゴリズムが存在するか？
• RQ3 一般問題がAPTASを許容しないにもかかわらず、スケールが偏ったインスタンスに制限された2BPに対してAPTASを構築できるか？
• RQ4 スケールが偏った入力における、最適なギロチン分割可能パッキングと一般2BPの比のタイトな上界は何か？

主な発見

• スケールが偏ったインスタンスにおける漸近的ギロチン分割可能価格（APoG）は正確に4/3であり、BansalとKhanによる予想が裏付けられた。
• 2BPのスケールが偏ったアイテムに対して、(1 + 20ε)opt(I) + O(1)の漸近的近似アルゴリズムが達成され、以前の最良比1.406を改善した。
• 一般2BP問題では不可能であるにもかかわらず、スケールが偏ったインスタンスに制限された2BPに対してAPTASが構築された。
• アルゴリズムが使用するバインディングの数は、(1 + 20ε)opt(I) + 1/13(1 + 1/εε₁)^(2/ε₁−2) + 23で抑えられ、εおよびδに明示的な依存関係がある。
• 分数線形計画法の妥当性チェックと貪欲なコンテナ割り当て、および残存アイテムに対するNFDHの組み合わせにより、タイトなパッキングが達成された。
• 解析により、すべてのコンテナにおける未パッキング総面積が3ε²mSで抑えられ、高いパッキング効率が保証された。