[論文レビュー] Tight Approximation Algorithms for p-Mean Welfare Under Subadditive Valuations

Siddharth Barman, Umang Bhaskar+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Game Theory and Voting Systems被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、部分加法的評価関数を有する分割不能な財の公平配分における $p$-平均福祉を近似する多項式時間アルゴリズムを提示する。任意の $p \in (-\infty, 1]$ に対して $\frac{1}{8n}$-近似を達成し、部分的モジュラル評価関数における従来の $O(n\log n)$-近似を改善している。また、XOS評価関数下での $O(n^{1-\varepsilon})$-近似には指数的クエリ数が必要であることを示すことで、近似比のタイトネスを証明している。

ABSTRACT

We develop polynomial-time algorithms for the fair and efficient allocation of indivisible goods among $n$ agents that have subadditive valuations over the goods. We first consider the Nash social welfare as our objective and design a polynomial-time algorithm that, in the value oracle model, finds an $8n$-approximation to the Nash optimal allocation. Subadditive valuations include XOS (fractionally subadditive) and submodular valuations as special cases. Our result, even for the special case of submodular valuations, improves upon the previously best known $O(n \\log n)$-approximation ratio of Garg et al. (2020). More generally, we study maximization of $p$-mean welfare. The $p$-mean welfare is parameterized by an exponent term $p \\in (-\\infty, 1]$ and encompasses a range of welfare functions, such as social welfare ($p = 1$), Nash social welfare ($p \ o 0$), and egalitarian welfare ($p \ o -\\infty$). We give an algorithm that, for subadditive valuations and any given $p \\in (-\\infty, 1]$, computes (in the value oracle model and in polynomial time) an allocation with $p$-mean welfare at least $\\frac{1}{8n}$ times the optimal. Further, we show that our approximation guarantees are essentially tight for XOS and, hence, subadditive valuations. We adapt a result of Dobzinski et al. (2010) to show that, under XOS valuations, an $O \\left(n^{1-\\varepsilon} \ ight)$ approximation for the $p$-mean welfare for any $p \\in (-\\infty,1]$ (including the Nash social welfare) requires exponentially many value queries; here, $\\varepsilon>0$ is any fixed constant.

研究の動機と目的

• 部分加法的評価関数を有するエージェント間における分割不能な財の公平かつ効率的な配分のための効率的近似アルゴリズムの開発。
• 部分的モジュラル評価関数下でのナッシュ社会的福祉（すなわち $p \to 0$）に対する既存の $O(n\log n)$-近似を改善すること。
• 社会的福祉（$p=1$）およびエゴイスト的福祉（$p \to -\infty$）を含む、$p$-平均福祉の全範囲にわたる近似保証の拡張。
• XOS評価関数下でのクエリ複雑性のほぼ最適な下界を示すことにより、近似比のタイトネスを確立すること。
• $(m-n+1)$-近似を $p \in (0,1)$ に拡張することは、加法的評価関数下でもNP困難であることを示すこと。

提案手法

• 任意の $p \in (-\infty, 1]$ および部分加法的評価関数に対して、最適解の $\frac{1}{8n}$ 倍以上の $p$-平均福祉を達成する割り当てを計算する多項式時間アルゴリズムを、値オракルモデルで設計する。
• 部分的モジュラルおよび加法的評価関数の研究から得られた手法を適応し、部分加法的関数の構造を活用して近似比を制限する。
• 値クエリを繰り返し用いてバンドルを段階的に改善するラウンドと割り当て戦略を採用し、公平性と効率性のトレードオフを保証する。
• 最適な $p$-平均福祉の下界構築において、一般化平均不等式を用いて境界を導出する。
• Dobzinski ら（2010）のクエリ複雑性下界を適応し、XOS評価関数下で $O(n^{1-\varepsilon})$-近似には指数的クエリ数が必要であることを示す。
• 加法的評価関数下で $p \in (0,1)$ の領域において、$(m-n+1)$-近似がNP困難であることを示し、この境界が $p \leq 0$ を超えては拡張できないことを立証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分加法的評価関数下で、すべての $p \in (-\infty, 1]$ に対して多項式時間アルゴリズムが $p$-平均福祉の定数倍近似を達成可能か？
• RQ2 $\frac{1}{8n}$-近似比はタイトか、それ以上に改善可能か？
• RQ3 XOS評価関数下で、$p$-平均福祉をサブリニア要因以内に近似するにはどの程度のクエリ複雑性が必要か？
• RQ4 ナッシュ社会的福祉の $(m-n+1)$-近似は、部分加法的または加法的評価関数下で $p \in (0,1)$ に拡張可能か？
• RQ5 加法的評価関数下でも、$p \in (0,1)$ の領域で $(m-n+1)$-近似を達成することはNP困難か？

主な発見

• 本稿では、すべての $p \in (-\infty, 1]$ に対して部分加法的評価関数下で $\frac{1}{8n}$-近似を達成し、部分的モジュラル評価関数下での従来の $O(n\log n)$-近似を改善している。
• 近似比 $\frac{1}{8n}$ は本質的にタイトであり、XOS評価関数下で $O(n^{1-\varepsilon})$-近似には指数的クエリ数が必要であることが示されている。
• 結果はXOSおよび部分的モジュラル関数を含むすべての部分加法的評価関数に一般化可能であり、部分的モジュラル評価関数に対する既知の難易度結果と一致する。
• $(m-n+1)$-近似は部分加法的評価関数下で $p \leq 0$ の場合に達成可能であるが、$p \in (0,1)$ には拡張できない。
• 加法的評価関数下でも、$p \in (0,1)$ の領域で $(m-n+1)$-近似を計算することはNP困難であり、この境界が拡張できないことを示している。
• 下界は複雑性理論的仮定に依存せず、クエリ効率の強力な限界を確立している。