[論文レビュー] Tight Approximations of Dynamic Risk Measures

Dan A. Iancu, Marek Petrik+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Jun 30, 2011

Risk and Portfolio Optimization参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、累積未来コストに単一の一貫性のあるリスク尺度を適用する手法と、1ステップの条件付きリスクマッピングを組み合わせる手法の2つのフレームワークを、動的リスク測定において比較している。近似のきつさを定量化する指標を導入し、最良の上界は正確に特徴付け可能である一方、最良の下界は一般に特徴付け不可能であり、計算は一般にNP困難であるが、特定のケース（例：条件付きバリューオブリスク）では多項式時間解法が存在する。

ABSTRACT

This paper compares two different frameworks recently introduced in the literature for measuring risk in a multi-period setting. The first corresponds to applying a single coherent risk measure to the cumulative future costs, while the second involves applying a composition of one-step coherent risk mappings. We summarize the relative strengths of the two methods, characterize several necessary and sufficient conditions under which one of the measurements always dominates the other, and introduce a metric to quantify how close the two risk measures are. Using this notion, we address the question of how tightly a given coherent measure can be approximated by lower or upper-bounding compositional measures. We exhibit an interesting asymmetry between the two cases: the tightest possible upper-bound can be exactly characterized, and corresponds to a popular construction in the literature, while the tightest-possible lower bound is not readily available. We show that testing domination and computing the approximation factors is generally NP-hard, even when the risk measures in question are comonotonic and law-invariant. However, we characterize conditions and discuss several examples where polynomial-time algorithms are possible. One such case is the well-known Conditional Value-at-Risk measure, which is further explored in our companion paper [Huang, Iancu, Petrik and Subramanian, "Static and Dynamic Conditional Value at Risk" (2012)]. Our theoretical and algorithmic constructions exploit interesting connections between the study of risk measures and the theory of submodularity and combinatorial optimization, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• マルチステージ意思決定設定において、累積コストに適用する静的リスク測度と、1ステップの条件付きマッピングによる構成的リスク測度の相対的な強みを比較すること。
• 動的設定において、あるリスク測度が他方を支配するための必要十分条件を特徴づけること。
• 静的リスク測度が構成的測度によってどの程度きつく近似可能かを定量化するための指標を導入すること。
• 支配関係のテストや近似要因の計算における計算複雑性を調査し、特に共モノトニック性と法不変性の下での境界を特定すること。
• 一般にNP困難であるが、特定のケース（特に条件付きバリューオブリスク）において多項式時間アルゴリズムが存在することを同定すること。

提案手法

• 静的リスク測度と構成的リスク測度の間の近似のきつさを定量化するための指標、すなわち最適スケーリング係数 $\alpha^\star$ を提案する。
• チョケット積分表現と歪み関数を用いてリスク測度をモデル化し、特に歪みリスク測度とその最悪ケース作用素との合成に注目する。
• サブモジュラリティと組合せ最適化の道具を用いて、近似問題の構造的性質とアルゴリズム的境界を導出する。
• 容量の理論と双対表現を用いて、リスク測度間の支配関係を分析し、特に一様確率測度を伴うシナリオツリーの文脈で考察する。
• 均一なシナリオツリーと歪みリスク測度のような特定の設定において、最適近似要因 $\alpha^\star$ の閉形式表現を導出する。
• ベルマンの原理と再帰的リスク評価を活用し、動的プログラミングと時不変リスク測定フレームワークを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的マルチステージ設定において、静的リスク測度が構成的リスク測度を支配する、あるいはその逆に支配する条件は何か？
• RQ2 静的リスク測度は、どの程度きつく構成的リスク測度によって近似可能であり、最良の近似要因は何か？
• RQ3 最良の上界近似が閉形式で特徴付け可能であるのに対し、最良の下界近似は特徴付けられないというこの非対称性の理由は何か？
• RQ4 支配関係のテストや近似要因の計算は、計算的に取り扱い可能か？ さまざまな仮定下での複雑性の境界は何か？
• RQ5 一般にNP困難であるが、条件付きバリューオブリスクのような特定のリスク測度に対しては、多項式時間アルゴリズムを設計可能か？

主な発見

• 静的リスク測度に対する構成的リスク測度による最良の上界は、文脈で正確に特徴付け可能であり、文脈で知られている構成と一致する。
• 静的リスク測度に対する構成的リスク測度による最良の下界は容易に入手できないため、近似問題に根本的な非対称性が存在することが示唆される。
• 支配関係のテストや近似要因の計算は、一般にNP困難であるが、共モノトニック性と法不変性の仮定下でも同様である。
• 条件付きバリューオブリスクの特定のケースでは、多項式時間アルゴリズムが可能であることが示されており、Huangら（2012）の補足論文でも確認されている。
• 均一なシナリオツリーでは、最適近似要因 $\alpha^\star_{\mu_I, \mu_I \circ \max}$ は $\max\left\{ \frac{\Psi(k/N)}{\Psi(k/N^2)} \right\}$（$k=1,\dots,N$）として閉形式で与えられる。
• 本論文は、リスク測度の近似とサブモジュラ最適化の間の関係を確立しており、リスク管理の文脈を超えて独自の関心を引く可能性がある。