[論文レビュー] Tight Bounds on Adjacency Labels for Monotone Graph Classes

Édouard Bonnet, Julien Duron+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2023

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、成長率が2^O(nf(n))である単調グラフクラスにおける隣接ラベル化スキームのタイトな境界を確立し、f(n)が特定の条件を満たす非減少関数である場合、そのようなクラスがサイズΘ(f(n) log n)のラベル化スキームを有することを証明する。主な結果は、成長率が超対数的である単調クラスに対して暗黙的グラフ予想を否定的に解決するが、有界な非疎性を有する単調小クラスに対してはそれを支持する。

ABSTRACT

A class of graphs admits an adjacency labeling scheme of size $b(n)$, if the vertices in each of its $n$-vertex graphs can be assigned binary strings (called labels) of length $b(n)$ so that the adjacency of two vertices can be determined solely from their labels. We give tight bounds on the size of adjacency labels for every family of monotone (i.e., subgraph-closed) classes with a well-behaved growth function between $2^{O(n \log n)}$ and $2^{O(n^{2-δ})}$ for any $δ> 0$. Specifically, we show that for any function $f: \mathbb N o \mathbb R$ satisfying $\log n \leqslant f(n) \leqslant n^{1-δ}$ for any fixed $δ> 0$, and some~sub-multiplicativity condition, there are monotone graph classes with growth $2^{O(nf(n))}$ that do not admit adjacency labels of size at most $f(n) \log n$. On the other hand, any such class does admit adjacency labels of size $O(f(n)\log n)$. Surprisingly this tight bound is a $Θ(\log n)$ factor away from the information-theoretic bound of $Ω(f(n))$. The special case when $f = \log$ implies that the recently-refuted Implicit Graph Conjecture [Hatami and Hatami, FOCS 2022] also fails within monotone classes. We further show that the Implicit Graph Conjecture holds for all monotone \emph{small} classes. In other words, any monotone class with growth rate at most $n!\,c^n$ for some constant $c>0$, admits adjacency labels of information-theoretic order optimal size. In fact, we show a more general result that is of independent interest: any monotone small class of graphs has bounded degeneracy.We conjecture that the Implicit Graph Conjecture holds for all hereditary small classes.

研究の動機と目的

• 成長率が準二次未塔の単調グラフクラスにおける隣接ラベル化スキームの最適サイズを特定すること。
• 単調グラフクラス内での暗黙的グラフ予想の成立を調査すること。
• 情報理論的に最適なラベル化スキームを有するクラスとそうでないクラスの境界を同定すること。
• 成長率、非疎性、および単調グラフ族におけるラベル化スキーム効率との間の関係を確立すること。

提案手法

• 確率的技法を用いて、指定された成長率2^O(nf(n))を有する単調グラフクラスを構成し、サイズ2^f(n)log nの普遍グラフの非存在を証明する。
• 極値的組合せ論を応用して、普遍グラフのn頂点部分グラフの数を束縛し、(cf)-良いグラフの数と比較する。
• 可能なラベル集合およびグラフ集合の対数的上限に基づく数え上げ的議論を用いて、ラベルサイズが小さすぎる場合に矛盾を導く。
• 非疎性を構造的性質として活用：成長率が2^O(nf(n))である単調クラスはO(f(n))-非疎であることを示し、これにより効率的なラベル化が可能になる。
• 隣接ラベル化スキームと普遍グラフの間の同値性を活用し、ラベルサイズの境界を普遍グラフサイズの制約に翻訳する。
• f(n)における部分乗法性および成長関数の制約を適用し、タイトな漸近的境界を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての単調グラフクラスについて、成長率が2^O(nf(n))である場合、サイズO(f(n) log n)の隣接ラベル化スキームを有するか？
• RQ2 暗黙的グラフ予想は、成長率が準二次未満の単調グラフクラスに拡張可能か？
• RQ3 単調グラフクラスにおける最適隣接ラベル化スキームの存在の正確な閾値は何か？
• RQ4 非疎性は、単調グラフ族における成長率およびラベル化効率とどのように関係するか？
• RQ5 有界な非疎性のような構造的性質—例えば有界非疎性—は、最適ラベル化スキームを有する単調クラスを特徴付けるか？

主な発見

• log n ≤ f(n) ≤ n^{1−δ}（δ > 0）かつ部分乗法性条件を満たす任意の非減少関数f(n)に対して、成長率が2^O(nf(n))である単調グラフクラスは、サイズO(f(n) log n)の隣接ラベル化スキームを有する。
• 同じクラスは、サイズ≤ f(n) log nのラベル化スキームを有しないことが示され、O(f(n) log n)が定数倍を除いてタイトであることが証明される。
• この境界は、情報理論的下界Ω(f(n))からΘ(log n)だけ離れていることから、圧縮可能性における根本的なギャップを示している。
• 成長率がn! c^n（c > 0の定数）未塔である単調クラスは有界非疎性を有し、情報理論的に最適なラベル化スキームを有する。
• 2^O(n log n)から2^O(n^{2−δ})の間の成長率を有する単調クラスに対して、暗黙的グラフ予想は、明示的構成により失敗することが示された。
• 本稿は、すべての遺伝的小クラスに対して暗黙的グラフ予想が成り立つと予想し、結果をより広いグラフクラスに拡張する。