[論文レビュー] Tight Lower Bounds for List Edge Coloring

Łukasz Kowalik, Arkadiusz Socała|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単純グラフにおけるリストエッジ彩色のタイトな下界を確立し、指数時間仮説（ETH）が成立しない限り、$2^{o(n^2)}$ 時間でこれを解けるアルゴリズムは存在しないことを証明している。著者らはスパースな3-CNF-SATインスタンスを $O(n)$ 頂点のリストエッジ彩色インスタンスに還元し、エッジ彩色の標準的な $2^m n^{O(1)}$ アルゴリズムがリストエッジ彩色に一般化され、遅延なしに適用可能であることを示しており、この下界は本質的に最適である。

ABSTRACT

The fastest algorithms for edge coloring run in time $2^m n^{O(1)}$, where $m$ and $n$ are the number of edges and vertices of the input graph, respectively. For dense graphs, this bound becomes $2^{Θ(n^2)}$. This is a somewhat unique situation, since most of the studied graph problems admit algorithms running in time $2^{O(n\log n)}$. It is a notorious open problem to either show an algorithm for edge coloring running in time $2^{o(n^2)}$ or to refute it, assuming Exponential Time Hypothesis (ETH) or other well established assumption. We notice that the same question can be asked for list edge coloring, a well-studied generalization of edge coloring where every edge comes with a set (often called a list) of allowed colors. Our main result states that list edge coloring for simple graphs does not admit an algorithm running in time $2^{o(n^2)}$, unless ETH fails. Interestingly, the algorithm for edge coloring running in time $2^m n^{O(1)}$ generalizes to the list version without any asymptotic slow-down. Thus, our lower bound is essentially tight. This also means that in order to design an algorithm running in time $2^{o(n^2)}$ for edge coloring, one has to exploit its special features compared to the list version.

研究の動機と目的

• エッジ彩色のアルゴリズムに関する既知の上界と予想される下界の間のギャップを埋める。
• エッジ彩色の一般化であるリストエッジ彩色が、標準的な $2^m n^{O(1)}$ アプローチよりも高速なアルゴリズムを有するかどうかを調査する。
• エッジ彩色の $2^{O(n^2)}$ の壁が、リストエッジ彩色に適用されない手法を用いて打ち破られる可能性があるかどうかを検討する。
• 指数時間仮説（ETH）のもとで、単純グラフにおけるリストエッジ彩色にタイトな下界を確立する。

提案手法

• スパースな3-CNF-SATインスタンスを $O(\sqrt{n})$ 頂点のリストエッジ彩色インスタンスに還元する。
• 変数と節のガジェットを備えたグラフ $G_r$ を構築し、交互なエッジ彩色によって真理値割り当てを符号化する。
• 経路上のリテラルベースの色列（$x_i, \neg x_i$）を用いて、変数の割り当てをシミュレートし、適切な彩色を保証する。
• 変数の真理値に依存する特定のエッジ彩色によって、節の充足を符号化する。
• すべてのエッジがその割り当てられた色リストからのみの色を用いて適切に彩色可能であることを証明し、適切なリストエッジ彩色を保持する。
• リストエッジ彩色に $2^{o(n^2)}$ 時間のアルゴリズムが存在すれば、$ (3,4) $-SAT が $2^{o(n)}$ 時間で解けることになり、ETHに反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純グラフにおけるリストエッジ彩色は、$2^{o(n^2)}$ 時間で解けるか？
• RQ2 エッジ彩色の $2^m n^{O(1)}$ アルゴリズムは最適であるか、それ以上に改善可能か？
• RQ3 リストエッジ彩色問題は、標準エッジ彩色よりもタイトな下界を示すか？
• RQ4 ETHのもとで、エッジ彩色に $2^{O(n)}$ 時間のアルゴリズムが存在しないことを除外できるか？
• RQ5 エッジ彩色とリストエッジ彩色の間の構造的差異は何か？ それらは一般的手法による $2^{O(n^2)}$ の壁の打ち破りを妨げるか？

主な発見

• 単純グラフにおけるリストエッジ彩色は、指数時間仮説（ETH）が成立しない限り、$2^{o(n^2)}$ 時間で解けるアルゴリズムを有さない。
• $ (3,4) $-SAT からリストエッジ彩色への還元は、変数の数を保ち、$O(\sqrt{n})$ 頂点のインスタンスを生成する。
• エッジ彩色の標準的な $2^m n^{O(1)}$ アルゴリズムは、リストエッジ彩色に漸近的遅延なしに一般化可能であり、この下界はタイトである。
• エッジ彩色の $2^{O(n^2)}$ の壁を打ち破るアルゴリズムは、色の対称性を利用しなければならず、リストエッジ彩色から一般化することはできない。
• この結果は、リストエッジ彩色が最も密集したエッジ彩色インスタンスと同等に計算的に困難であり、ETHのもとではより高速なアルゴリズムは存在しないことを示唆する。
• 構成により、すべてのエッジがその色リストからのみの色を用いて適切に彩色され、どの頂点に対しても隣接するエッジが同じ色をもたないことが保証される。