[論文レビュー] Tight Lower Bounds for Planted Clique in the Degree-4 SOS Program

Prasad Raghavendra, Tselil Schramm|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Cryptography and Data Security参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Erdős-Rényi 確率的グラフ $G(n, \frac{1}{2})$ における植え付けクリーク問題の4次ソート・オブ・スクエアーズ（SOS）緩和に対する、タイトな下界 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ を確立する。著者らは、目的値 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ の妥当な半正定値計画（SDP）解を構築することで、4次SOSプログラムが、サイズ $\tilde{O}(n^{1/2})$ の植え付けクリークを含むグラフとランダムグラフを区別できないことを示し、この問題におけるSOS階層の解析における長年のギャップを埋めた。

ABSTRACT

We give a lower bound of $ ildeΩ(\sqrt{n})$ for the degree-4 Sum-of-Squares SDP relaxation for the planted clique problem. Specifically, we show that on an Erdös-Rényi graph $G(n, frac{1}{2})$, with high probability there is a feasible point for the degree-4 SOS relaxation of the clique problem with an objective value of $ ildeΩ(\sqrt{n})$, so that the program cannot distinguish between a random graph and a random graph with a planted clique of size $ ilde{O}(\sqrt{n})$. This bound is tight. We build on the works of Deshpande and Montanari and Meka et al., who give lower bounds of $ ildeΩ(n^{1/3})$ and $ ildeΩ(n^{1/4})$ respectively. We improve on their results by making a perturbation to the SDP solution proposed in their work, then showing that this perturbation remains PSD as the objective value approaches $ ildeΩ(n^{1/2})$. In an independent work, Hopkins, Kothari and Potechin [HKP15] have obtained a similar lower bound for the degree-$4$ SOS relaxation.

研究の動機と目的

• 4次ソート・オブ・スクエアーズ（SOS）緩和の下界に関するギャップを埋めること。
• SOS階層が、$G(n, \tfrac{1}{2})$ のランダムグラフにおいて、サイズ $\tilde{O}(n^{1/2})$ の植え付けクリークを検出できないことを示すこと。
• 4次SOS緩和の既存の下界 $\tilde{\theta}(n^{1/3})$ および $\tilde{\theta}(n^{1/4})$ を改善すること。
• 目的値 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ の妥当なSDP解を構築することで、この境界がタイトであることを示すこと。この解は正定値を保つ。

提案手法

• DeshpandeとMontanari、およびMekaらのSDP解の摂動を構築し、目的値を向上させること。
• 摂動解から導かれる行列 $M'$ のべき乗のトレースを解析し、そのスペクトルノルムを評価すること。
• 組合せ的数え上げを用いて、$\mathbb{E}[\tr(M'^k)]$ に寄与する項の数を評価し、偶数の辺多重度を持つサイクルに焦点を当てる。
• 集中不等式および行列ノルムの評価を用いて、$\mathbb{E}[\tr(M'^k)]$ が高確率で小さいことを示すこと。
• 射影演算子の代わりに、$P_{01}$ や $P_W$ のような構造的行列を用いて解析を簡略化すること。
• 高確率で $\mathbb{E}[\tr(M'^k)] \to 0$ となることから、$\mathbb{E}[\|M'\|] \to 0$ となることを示し、妥当性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次SOS緩和は、$G(n, \tfrac{1}{2})$ において、サイズ $\tilde{O}(n^{1/2})$ の植え付けクリークを検出できるか？
• RQ2 4次SOSに対して、以前に知られていた下界 $\tilde{\theta}(n^{1/3})$ はタイトか？
• RQ3 既存のSDP解の摂動により、目的値を $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ まで向上させつつ、正定値性を保てるか？
• RQ4 サイズが $\tilde{O}(n^{1/2})$ 未満のクリークでは、4次SOS階層がランダムグラフと植え付けクリーク付きグラフを区別できないか？
• RQ5 Meka らおよび Deshpande と Montanari の解析を改善し、タイトな境界を達成できるか？

主な発見

• 高確率で、$G(n, \tfrac{1}{2})$ において4次SOS緩和に目的値 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ の妥当な解が存在する。
• これは、SOSプログラムが、サイズ $\tilde{O}(n^{1/2})$ の植え付けクリークを含むグラフとランダムグラフを区別できないことを示し、タイトな下界を確立する。
• 目的値が $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ に近づくに従い、SDP解の摂動は正定値性を保ち続けるため、妥当性が確認される。
• 主要な行列 $M'$ のスペクトルノルムは、高確率で $\tilde{O}(\frac{n^{1/2}}{n}) = \tilde{O}(n^{-1/2})$ に有界である。
• この境界はタイトであり、この設定における4次SOS緩和のより良い下界は得られない。
• この結果は、Hopkins、Kothari、Potechinによる独立的な境界と一致しており、$\tilde{\theta}(n^{1/2})$ の閾値がタイトであることを確認する。