[論文レビュー] Tight lower bounds on the matching number in a graph with given maximum degree

Michael A. Henning, Anders Yeo|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最大次数が高々 k であるグラフにおけるマッチング数 α′(G) に対するタイトな下界を確立し、すべての連結グラフ G に対して α′(G) ≥ γn + βm − K が成り立つようなすべてのペア (γ, β) の集合 Lk が凸集合であることを証明する。奇数の k ≥ 3 に対しては、Lk は2つの閉半空間の共通部分であり、1つの端点を持つ。偶数の k ≥ 4 に対しては、Lk は3つの半空間の共通部分であり、2つの端点を持つ。この結果により、n（頂点数）と m（辺数）を用いた線形下界のタイトさが完全に特徴づけられる。

ABSTRACT

Let $k \geq 3$. We prove the following three bounds for the matching number, $α'(G)$, of a graph, $G$, of order $n$ size $m$ and maximum degree at most $k$. If $k$ is odd, then $α'(G) \ge \left( \frac{k-1}{k(k^2 - 3)} ight) n \, + \, \left( \frac{k^2 - k - 2}{k(k^2 - 3)} ight) m \, - \, \frac{k-1}{k(k^2 - 3)}$. If $k$ is even, then $α'(G) \ge \frac{n}{k(k+1)} \, + \, \frac{m}{k+1} - \frac{1}{k}$. If $k$ is even, then $α'(G) \ge \left( \frac{k+2}{k^2+k+2} ight) m \, - \, \left( \frac{k-2}{k^2+k+2} ight) n \, - \frac{k+2}{k^2+k+2}$. In this paper we actually prove a slight strengthening of the above for which the bounds are tight for essentially all densities of graphs. The above three bounds are in fact powerful enough to give a complete description of the set $L_k$ of pairs $(γ,β)$ of real numbers with the following property. There exists a constant $K$ such that $α'(G) \geq γn + βm - K$ for every connected graph $G$ with maximum degree at most~$k$, where $n$ and $m$ denote the number of vertices and the number of edges, respectively, in $G$. We show that $L_k$ is a convex set. Further, if $k$ is odd, then $L_k$ is the intersection of two closed half-spaces, and there is exactly one extreme point of $L_k$, while if $k$ is even, then $L_k$ is the intersection of three closed half-spaces, and there are precisely two extreme points of $L_k$.

研究の動機と目的

• 最大次数が k 以下である連結グラフ G に対して、頂点数 n と辺数 m の関数として、マッチング数 α′(G) のタイトな線形下界を特定すること。
• すべての最大次数 Δ(G) ≤ k を満たす連結グラフ G に対して α′(G) ≥ γn + βm − K を満たすようなすべてのペア (γ, β) の集合 Lk を特徴づけること。
• Lk が凸集合であること、および奇数および偶数の k に対してその幾何的構造（特に端点と定義する半空間）を完全に記述すること。
• 得られた境界が、木や k-正則グラフを含む無限個のグラフにおいて、あらゆる辺密度に対してタイトであることを示すこと。
• これまでのマッチング数下界に関する結果を統合・強化し、(γ, β) ペアの妥当領域を完全かつタイトに、正確に特徴づけること。

提案手法

• k の偶奇に応じて3つのタイトな下界を導出する：奇数 k に対しては1つ、偶数 k に対しては2つ。これらはすべて、明示的な定数を含む n と m の線形関数として表現される。
• マッチング数の解析に、Tutte–Berge の公式を基礎的ツールとして用いる。これは、(n + |X| − oc(G−X))/2 を最小化する頂点部分集合 X を通じて行う。
• すべての最大次数 ≤ k のグラフに対して有効かつタイトな線形下界 (an + bm − K) を分類するための「k-良い」と「k-タイト」なペア (a,b) の概念を導入する。
• 幾何学的・凸解析的手法を用いて、Lk が (γ, β) に関する線形不等式で定義される閉半空間の共通部分であることを示し、極値グラフ族から導かれる明示的な係数を特定する。
• 木や k-正則グラフ、および構成されたグラフ族 G′k,r を用いて、境界のタイトさを示す極値例を構築する。
• 補間および凸結合の議論（補題 8 を用いて）により、端点の凸包に属するすべての点が k-良いであることを示し、Lk の完全な凸構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての最大次数が k 以下の連結グラフ G に対して、α′(G) ≥ γn + βm − K を満たすような、形式 α′(G) ≥ γn + βm − K のタイトな線形下界のうち、最もタイトなものは何か？
• RQ2 k の偶奇に応じて、有効な (γ, β) ペアの集合 Lk の構造はどのように変化するか？
• RQ3 Lk の端点は何か？ そして、木や k-正則グラフのような極値グラフ族とどのように関係しているか？
• RQ4 スパarsなグラフ（例：木）と密なグラフ（例：k-正則グラフ）の両方において、境界が同時にタイトに保たれ、中間のあらゆる辺密度に対しても成り立つか？
• RQ5 Lk の幾何的性質は何か？ そして、それが閉半空間の共通部分として完全に記述可能か？

主な発見

• 奇数の k ≥ 3 に対しては、Lk は2つの閉半空間 ℓ₁ と ℓ₂ の共通部分であり、ちょうど1つの端点を持つ：( (k−1)/(k(k²−3)), (k²−k−2)/(k(k²−3)) )。
• 偶数の k ≥ 4 に対しては、Lk は3つの閉半空間 ℓ₁、ℓ₃、ℓ₄ の共通部分であり、ちょうど2つの端点を持つ：(1/(k(k+1)), 1/(k+1)) および (−(k−2)/(k²+k+2), (k+2)/(k²+k+2))。
• 奇数の k に対する境界は α′(G) ≥ ((k−1)/(k(k²−3)))n + ((k²−k−2)/(k(k²−3)))m − (k−1)/(k(k²−3)) であり、無限個の木および k-正則グラフでタイトである。
• 偶数の k に対しては、2つの異なる境界が導かれる：α′(G) ≥ n/(k(k+1)) + m/(k+1) − 1/k および α′(G) ≥ ((k+2)/(k²+k+2))m − ((k−2)/(k²+k+2))n − (k+2)/(k²+k+2)。両方とも関連するグラフ族に対してタイトである。
• 集合 Lk は凸であり、Lk に属するすべての (γ, β) ペアは、あらゆる辺密度において無限個のグラフに対してタイトな有効な線形下界を与える。
• 本稿では、導出された境界が有効であるだけでなく、最適であることを証明している。Lk の外側にある任意のペア (γ, β) は、すべての最大次数 Δ(G) ≤ k を満たす連結グラフ G に対して、α′(G) を γn + βm − K で下から抑えられない。