[論文レビュー] Tight MIP formulations for bounded length cyclic sequences

Thomas Kalinowski, Tomas Lidén+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最小および最大のオン/オフ間隔長を有する周期的スケジューリングをモデル化する、長さが有界な巡回バイナリーシーケンスのタイトな混合整数プログラミング（MIP）定式化を提示する。拡張ネットワークフロー定式化を導入し、状態変数および起動変数空間における顔を定義する有効な不等式を導出する。さらに、分岐プログラミングを用いて凸包の拡張定式化を構築し、巡回スケジューリング問題における整数性とタイトさを保証する。

ABSTRACT

We study cyclic binary strings with bounds on the lengths of the intervals of consecutive ones and zeros. This is motivated by scheduling problems where such binary strings can be used to represent the state (on/off) of a machine. In this context the bounds correspond to minimum and maximum lengths of on- or off-intervals, and cyclic strings can be used to model periodic schedules. Extending results for non-cyclic strings is not straight forward. We present a non-trivial tight compact extended network flow formulation, as well as valid inequalities in the space of the state and start-up variables some of which are shown to be facet-defining. Applying a result from disjunctive programming, we also convert the extended network flow formulation into an extended formulation over the space of the state and start-up variables.

研究の動機と目的

• 長さが有界なオン・オフ間隔長を有する巡回バイナリーシーケンスのタイトなMIP定式化を開発すること。
• 非巡回定式化を巡回設定に拡張する課題に取り組むこと、ここでラップアラウンド間隔が標準的な整数性を破る。
• 定数の境界が与えられた場合に、状態および起動変数空間における有効な不等式が顔を定義するものであることを示すこと。
• 分岐プログラミング技術を用いて、凸包の拡張定式化を構築すること。
• 巡回依存性があるにもかかわらず、定式化の整数性とタイトさを保証すること。

提案手法

• 非巡回シーケンスの拡張ネットワークフロー定式化を[13]から借用し、ネットワークを拡大して整数性を回復させるための分岐構造を活用して巡回シーケンスに適応する。
• オン/オフ状態と遷移をモデル化するため、状態変数 $ y_t $ および起動変数 $ z_t $ を定義する。
• ラップアラウンド間隔をモデル化するため、補助変数 $ \lambda $ と添え字 $ \tau \in T_i $ でインデックスが付いた制約を用いたパスベース定式化を導入する。
• 複数の多面体 $ \hat{P}^{(i,\tau)} $ を組み合わせるために分岐プログラミングを適用し、それぞれがオンまたはオフ間隔の開始位置に対応する。
• 拡張定式化を元の $ y $ および $ z $ 変数に戻すための射影 $ f $ を用いる。
• 凸結合を用いて $ \hat{P}^{(i,\tau)}(1) $ の凸包定式化を導出し、整数性とタイトさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さが有界な巡回バイナリーシーケンスに対して、整数性を保証するコンactな拡張ネットワークフロー定式化を構築できるか？
• RQ2 境界が時間的に一定である場合、状態および起動変数空間における有効な不等式が顔を定義するものか？
• RQ3 分岐プログラミングアプローチにより、集合 $ Z(n,\bm{\alpha},\bm{\beta},\bm{\gamma},\bm{\delta}) $ の凸包を記述する拡張定式化が得られるか？
• RQ4 拡張定式化 $ Q $ を元の変数に射影した結果が元の多面体 $ P $ に等しいか、すなわち $ \operatorname{proj}_{y,z}(Q) = P $ か？
• RQ5 顔の数を用いた凸包の複雑度は何か？ そしてそれは多項式的か？

主な発見

• 分岐構造を活用してネットワークを拡大することで、整数多面体を生成する非自明な拡張ネットワークフロー定式化が構築された。
• 定式化はタイトでコンパクトであり、[13]の非巡回的手法を巡回設定に拡張した。
• 定数境界の下で、$ y $-$ z $ 空間における有効な不等式が顔を定義するための十分条件が提示された。
• 分岐プログラミングを用いて、複数のパスベース多面体 $ \hat{P}^{(i,\tau)} $ を凸結合で組み合わせ、凸包の拡張定式化が導出された。
• 拡張定式化 $ Q $ の元の変数への射影が、小規模なケースにおいて polymake を用いて確認したところ、元の多面体 $ P $ に等しいことが示された。
• 本手法により、有界な数の制約で凸包を正確に記述する多項式サイズの拡張定式化が得られた。