[論文レビュー] Tight MIQP Reformulations for Semi-Continuous Quadratic Programming: Lift-and-Convexification Approach

Baiyi Wu, Xiaoling Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、半連続二次計画問題に対するタイトな混合整数二次プログラミング（MIQP）再定式化を導出するためのリフト・凸化アプローチを提案する。二次項をx空間から(x,y)空間にリフトし、それを凸化することで実現する。この手法は、パースペクティブ再定式化という最先端のベンチマークと同等の連続緩和上限を得るとともに、元の問題が線形制約付き二次計画構造を保ったままとなる。これにより、分枝限定法の処理が高速化され、ポートフォリオ選択およびサブセット選択問題における計算実験で、最先端の手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We consider in this paper a class of semi-continuous quadratic programming problems which arises in many real-world applications such as production planning, portfolio selection and subset selection in regression. We propose a lift-and-convexification approach to derive an equivalent reformulation of the original problem. This lift-and-convexification approach lifts the quadratic term involving $x$ only in the original objective function $f(x,y)$ to a quadratic function of both $x$ and $y$ and convexifies this equivalent objective function. While the continuous relaxation of our new reformulation attains the same tight bound as achieved by the continuous relaxation of the well known perspective reformulation, the new reformulation also retains the linearly constrained quadratic programming structure of the original mix-integer problem. This prominent feature improves the performance of branch-and-bound algorithms by providing the same tightness at the root node as the state-of-the-art perspective reformulation and offering much faster processing time at children nodes. We further combine the lift-and-convexification approach and the quadratic convex reformulation approach in the literature to form an even tighter reformulation. Promising results from our computational tests in both portfolio selection and subset selection problems numerically verify the benefits from these theoretical features of our new reformulations.

研究の動機と目的

• 元の問題が線形制約付き二次計画構造を保ったまま、半連続二次計画問題に対するよりタイトなMIQP再定式化を開発すること。
• パースペクティブ再定式化という最先端のベンチマークと同等の連続緩和上限を達成すること。
• 子ノードでの処理を高速化することで、分枝限定法における計算オーバーヘッドを低減すること。
• リフト・凸化アプローチを二次凸再定式化（QCR）と組み合わせ、よりタイトな境界を達成すること。
• 実世界の応用、特にポートフォリオ選択および回帰におけるサブセット選択問題に対して、本手法の実証的妥当性を検証すること。

提案手法

• 目的関数内の二次項をxのみから(x,y)の関数にリフトし、問題を高次元空間に変換すること。
• リフトされた二次関数を(x,y)空間で凸化し、元の問題をタイトに包み込む凸緩和を構築すること。
• 再定式化の最適パラメータを特定するためのSDP（半正定値計画）を定式化し、可能な限りタイトな連続緩和を保証すること。
• 新しい再定式化の連続緩和が、既知のベンチマークであるパースペクティブ再定式化と同等のタイトさを持つことを証明すること。
• SDPの解法がパースペクティブ再定式化とほぼ同等の効率で実行可能であり、追加のSOCP解法のみを要するため、計算コストを低減できることを示すこと。
• リフト・凸化アプローチを既存の二次凸再定式化（QCR）技術と統合し、再定式化のタイトさをさらに高めること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リフト・凸化アプローチにより、パースペクティブ再定式化と同等の連続緩和上限を持つMIQP再定式化を構築できるか？
• RQ2 線形制約付き二次計画構造を保った場合、分枝限定法における計算効率が向上するか？
• RQ3 リフト・凸化とQCRを組み合わせることで、単独で用いる場合よりも著しくタイトな境界が得られるか？
• RQ4 新しい再定式化の構築に要する計算コストは、パースペクティブ再定式化と比べてどの程度か？
• RQ5 実世界の応用、例えばポートフォリオ選択およびサブセット選択において、新しい再定式化は解法時間と境界品質をどの程度改善するか？

主な発見

• 新しい再定式化の連続緩和は、タイトさのベンチマークとして知られるパースペクティブ再定式化と同等の境界品質を達成する。
• 新しい再定式化は、線形制約付き二次計画構造を保持しており、パーサペクティブカットと比較して分枝限定法のノード処理が高速化される。
• ポートフォリオ選択問題における計算実験では、リフト・凸化とQCRを組み合わせた場合、平均で24.9%の境界改善が得られ、個々の問題では2.5%から47.1%の改善が観察された。
• 最良の再定式化を構築するためのSDP定式化は、問題インスタンス1つあたり一度だけ解けばよく、長期的な解法利便性を得るための一回限りの計算投資となる。
• タイトな再定式化を生成する際の計算負担が軽減され、パースペクティブ再定式化と比較してわずかな追加作業で済む。
• 実際の応用において、本手法は最先端のアプローチと同等の性能を発揮し、半連続変数を含む混合整数二次計画問題に対する強力な代替手法を提供する。