[論文レビュー] Tight Running Time Lower Bounds for Strong Inapproximability of Maximum $k$-Coverage, Unique Set Cover and Related Problems (via $t$-Wise Agreement Testing Theorem)

Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ギャップ指数時間仮説（Gap-ETH）の下で、Max $k$-Coverage、$k$-Median、$k$-Mean、$k$-Unique Set Cover、および $k$-Minimum Distance や $k$-Shortest Vector などの格子問題を含む、いくつかの基本的パrameterized問題の強力な近似不可能性に関するタイトな実行時間下界を確立する。$T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間のアルゴリズムでは、特定の定数因子近似が達成できないことが示され、その下界は指数部の定数に関してタイトである。

ABSTRACT

We show, assuming the (randomized) Gap Exponential Time Hypothesis (Gap-ETH), that the following tasks cannot be done in $T(k) \\cdot N^{o(k)}$-time for any function $T$ where $N$ denote the input size: - $\\left(1 - \\frac{1}{e} + \\epsilon\ ight)$-approximation for Max $k$-Coverage for any $\\epsilon > 0$, - $\\left(1 + \\frac{2}{e} - \\epsilon\ ight)$-approximation for $k$-Median (in general metrics) for any constant $\\epsilon > 0$. - $\\left(1 + \\frac{8}{e} - \\epsilon\ ight)$-approximation for $k$-Mean (in general metrics) for any constant $\\epsilon > 0$. - Any constant factor approximation for $k$-Unique Set Cover, $k$-Nearest Codeword Problem and $k$-Closest Vector Problem. - $(1 + \\delta)$-approximation for $k$-Minimum Distance Problem and $k$-Shortest Vector Problem for some $\\delta > 0$. Since these problems can be trivially solved in $N^{O(k)}$ time, our running time lower bounds are essentially tight. In terms of approximation ratios, Max $k$-Coverage is well-known to admit polynomial-time $\\left(1 - \\frac{1}{e}\ ight)$-approximation algorithms, and, recently, it was shown that $k$-Median and $k$-Mean are approximable to within factors of $\\left(1 + \\frac{2}{e}\ ight)$ and $\\left(1 + \\frac{8}{e}\ ight)$ respectively in FPT time [Cohen-Addad et al. 2019]; hence, our inapproximability ratios are also tight for these three problems. For the remaining problems, no non-trivial FPT approximation algorithms are known. The starting point of all our hardness results mentioned above is the Label Cover problem (with projection constraints). We show that Label Cover cannot be approximated to within any constant factor in $T(k) \\cdot N^{o(k)}$ time, where $N$ and $k$ denote the size of the input and the number of nodes on the side with the larger alphabet respectively. With this hardness, the above results follow immediately from known reductions...

研究の動機と目的

• ギャップ指数時間仮説（Gap-ETH）の下で、重要なパrameterized問題の強力な近似不可能性に関するタイトな実行時間下界を確立すること。
• Max $k$-Coverage や $k$-Median などの問題における FPT 近似アルゴリズムの既知の上界と、最良の可能な実行時間とのギャップを埋めること。
• Label Cover の困難性を示すために、新しい $t$-wise 一致テスト定理を開発すること。この定理は、以降のすべての近似不可能性結果の基盤をなす。
• $k$-Unique Set Cover、$k$-Nearest Codeword、$k$-Closest Vector の FPT 近似可能性に関する未解決の問題を解き、特に完全な FPT 近似不可能性を特定すること。
• 自己テンソル化技術を回避することで、$k$-Minimum Distance や $k$-Shortest Vector に対するより強い近似不可能性結果を、定数因子の範囲で得られるかを検討すること。

提案手法

• 実行時間下界を導出するために、中心的な複雑性仮定としてギャップ指数時間仮説（Gap-ETH）を用いる。
• 新たに $t$-wise 一致テスト定理を導入する：$\Theta(n/k)$ 大きさのドメイン上の $t$ 個のランダムに選ばれた局所的ブール関数が、高い確率で弱く一致するならば、それらの多くと大部分で一致するグローバルなブール関数が存在する。
• この一致定理を、$\Theta(n/k)$ 大きさのランダムに見える集合に適用し、$T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間制約下での Label Cover の困難性を証明する。
• 硬い Label Cover のインスタンスから、Max $k$-Coverage、$k$-Median、$k$-Mean、$k$-Unique Set Cover、および格子問題への還元を適用する。
• 既知の Label Cover からの還元を用い、これらの問題における $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間のアルゴリズムが存在すれば、Gap-ETH に反する、と示す。
• 既存の FPT 近似アルゴリズムがそれぞれ $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$、$\left(1 + \frac{2}{e}\right)$、$\left(1 + \frac{8}{e}\right)$ 近似を達成できることと比較することで、下界のタイトさを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gap-ETH の下で、$T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間のアルゴリズムが、Max $k$-Coverage に対して $\left(1 - \frac{1}{e} + \varepsilon\right)$-近似を達成できるか。
• RQ2 $k$-Median に対して、$T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間のアルゴリズムが $\left(1 + \frac{2}{e} - \varepsilon\right)$-近似を達成できるか。
• RQ3 $k$-Unique Set Cover は、任意の定数因子で $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間内に近似可能か。
• RQ4 $k$-Minimum Distance や $k$-Shortest Vector に対して、自己テンソル化に依存せずに、$T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間の近似不可能性を証明できるか。
• RQ5 $k$-Unique Set Cover は完全に FPT 近似不可能か、それとも非自明な FPT 近似アルゴリズムが存在するか。

主な発見

• Gap-ETH の下で、任意の定数 $\varepsilon > 0$ に対して、$T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間のアルゴリズムは、Max $k$-Coverage に対して $\left(1 - \frac{1}{e} + \varepsilon\right)$-近似を達成できない。
• 同様に、$k$-Median に対しては $\left(1 + \frac{2}{e} - \varepsilon\right)$-近似、一般の距離空間における $k$-Mean に対しては $\left(1 + \frac{8}{e} - \varepsilon\right)$-近似を達成できない。
• 本稿は、$k$-Unique Set Cover、$k$-Nearest Codeword、$k$-Closest Vector について、任意の定数因子で $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間の近似不可能性を証明する。
• また、ある $\delta > 0$ に対して、$k$-Minimum Distance および $k$-Shortest Vector についても、$1+\delta$ 要因の範囲で $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 時間の近似不可能性を確立する。
• Label Cover の困難性は、$\Theta(n/k)$ 大きさのランダムに見える集合の文脈で、新しい $t$-wise 一致テスト定理を用いて証明され、これは全体のフレームワークの中心的役割を果たす。
• すべての近似不可能性結果は、指数部の定数に関してタイトであり、Max $k$-Coverage、$k$-Median、$k$-Mean の最良の既知の FPT 近似アルゴリズムと一致する。