[論文レビュー] Tight upper bound on the maximum anti-forcing numbers of graphs

Lingjuan Shi, Heping Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2017

Interconnection Networks and Systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、完全マッチングをもつグラフの最大アンチフォース数に対する新たなタイトな上界を確立し、'よい'完全マッチングおよび極値グラフの概念を導入する。この研究では、これらのグラフが辺自己同型によって特徴づけられ、2つの拡張操作を用いて構成可能であることを示し、超立方体、折りたたみ超立方体、および完全グラフへの応用を含む。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with a perfect matching. Deng and Zhang showed that the maximum anti-forcing number of $G$ is no more than the cyclomatic number. In this paper, we get a novel upper bound on the maximum anti-forcing number of $G$ and investigate the extremal graphs. If $G$ has a perfect matching $M$ whose anti-forcing number attains this upper bound, then we say $G$ is an extremal graph and $M$ is a nice perfect matching. We obtain an equivalent condition for the nice perfect matchings of $G$ and establish a one-to-one correspondence between the nice perfect matchings and the edge-involutions of $G$, which are the automorphisms $α$ of order two such that $v$ and $α(v)$ are adjacent for every vertex $v$. We demonstrate that all extremal graphs can be constructed from $K_2$ by implementing two expansion operations, and $G$ is extremal if and only if one factor in a Cartesian decomposition of $G$ is extremal. As examples, we have that all perfect matchings of the complete graph $K_{2n}$ and the complete bipartite graph $K_{n, n}$ are nice. Also we show that the hypercube $Q_n$, the folded hypercube $FQ_n$ ($n\geq4$) and the enhanced hypercube $Q_{n, k}$ ($0\leq k\leq n-4$) have exactly $n$, $n+1$ and $n+1$ nice perfect matchings respectively.

研究の動機と目的

• サイクル数よりもタイトな、完全マッチングをもつグラフの最大アンチフォース数に対する上界を確立すること。
• この上界に達するグラフ（いわゆる'極値グラフ'）を特徴づけ、それらの完全マッチング（'よい完全マッチング'と呼ぶ）を同定すること。
• よい完全マッチングと辺自己同型（各頂点を隣接頂点に写す位数2の自己同型）の間の一対一対応を確立すること。
• 2つの拡張操作を用いて、すべての極値グラフを構成的特徴づけること。
• 標準的族（超立方体、折りたたみ超立方体、拡張超立方体など）におけるよい完全マッチングの数を特定すること。

提案手法

• 完全マッチングのアンチフォース数を、そのマッチング以外に完全マッチングが残らないようにする非マッチング辺の最小数として定義する。
• 'よい'完全マッチングを、アンチフォース数の新しい上界に達するマッチングと定義し、そのようなマッチングをもつグラフを極値グラフと呼ぶ。
• よい完全マッチングと辺自己同型（各頂点がその像と隣接する位数2の自己同型）との間の全単射対応を確立する。
• グラフのカルテシアン積分解を用いて、グラフが極値であるための必要十分条件を示す。すなわち、カルテシアン分解におけるある因子が極値である場合に限り、元のグラフが極値である。
• グラフ積の理論と等長サイクルの性質を応用し、折りたたみ超立方体 $FQ_n$ ($n eq 3$) が素であることを示し、かつ極値であることを証明する。
• $K_2$ を出発点として、2つの拡張操作（頂点の複製と辺の追加）を繰り返し適用することで、すべての極値グラフを再帰的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全マッチングをもつグラフの最大アンチフォース数に対する、最もタイトな上界は何か？
• RQ2 どのグラフがこの上界に達するのか？ また、それらはどのような構造的性質を持つのか？
• RQ3 最大アンチフォース数に達する'よい完全マッチング'は、グラフの自己同型とどのように関係するか？
• RQ4 すべての極値グラフは、特定の操作を用いて基本的なグラフから構成可能か？
• RQ5 標準的族（$K_{2n}$, $K_{n,n}$, $Q_n$, $FQ_n$, $Q_{n,k}$ など）には、いくつのよい完全マッチングが存在するか？

主な発見

• グラフ $G$ の最大アンチフォース数は $v(G) - e(G) + 1$ で上から抑えられ、極値グラフではこの上界がタイトである。
• 完全マッチング $M$ が'よい'であるための必要十分条件は、$M$ がグラフの辺自己同型に対応すること、すなわち、各頂点を隣接頂点に写す位数2の自己同型である。
• すべての極値グラフは、$K_2$ から始めて、頂点の複製と辺の追加という2つの拡張操作を繰り返し適用することで構成可能である。
• グラフが極値であるための必要十分条件は、そのカルテシアン分解におけるある因子が極値であることである。
• 完全グラフ $K_{2n}$ および完全二部グラフ $K_{n,n}$ では、すべての完全マッチングがよいマッチングである。
• 超立方体 $Q_n$ にはちょうど $n$ 個のよい完全マッチングが存在する。折りたたみ超立方体 $FQ_n$ ($n eq 3$) には $n+1$ 個、拡張超立方体 $Q_{n,k}$ ($0 eq k eq n-3$) には $n+1$ 個のよい完全マッチングが存在する。