[論文レビュー] Tiles with no spectra

Mihail N. Kolountzakis, Máté Matolcsi|ArXiv.org|Jun 7, 2004

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、d ≥ 5 の次元において、Fugledeのスペクトル集合予想の「タイリングはスペクトルを意味する」方向を、有限アーベル群の有限部分集合を構成することで反証した。その集合はタイリング可能だが、そのタイリング補集合に共通するスペクトルを有さない。LagariasとWangのユニバーサルスペクトル予想に対する反例を用いて、ℤ^d および ℝ^d における非スペクトルタイリングを拡張し、高次元においてタイリングがスペクトル性を意味しないことを示した。

ABSTRACT

We exhibit a subset of a finite Abelian group, which tiles the group by translation, and such that its tiling complements do not have a common spectrum (orthogonal basis for their $L^2$ space consisting of group characters). This disproves the Universal Spectrum Conjecture of Lagarias and Wang. Further, we construct a set in some finite Abelian group, which tiles the group but has no spectrum. We extend this last example to the groups $\ZZ^d$ and $\RR^d$ (for $d \ge 5$) thus disproving one direction of the Spectral Set Conjecture of Fuglede. The other direction was recently disproved by Tao.

研究の動機と目的

• d ≥ 5 の次元において、Fugledeのスペクトル集合予想の「タイリングはスペクトルを意味する」方向を反証すること。
• 有限アーベル群における有限集合を構成し、タイリング可能であるがスペクトルを有さないことを示し、LagariasとWangのユニバーサルスペクトル予想を反証すること。
• 有限群からの非スペクトルタイリングを、上昇定理を用いて ℤ^d および ℝ^d に拡張し、ユークリッド空間において次元 ≥ 5 の場合にタイリングがスペクトル性を意味しないことを示すこと。
• ℝ^d におけるすべてのタイリング集合がスペクトルであるという予想に対する反例を提供し、Fugledeの予想の両方向における反証を完了すること。

提案手法

• ℤ₆⁵ × ℤ₁₅ におけるユニバーサルスペクトル予想の反例を構成し、タイリング可能だがそのタイリング補集合に共通するスペクトルを有さない集合 A を同定する。
• χ_A のフーリエ変換の構造を用いて、有限群設定下で A に対して正規直交基底（スペクトル）が存在しないことを示す。
• 非スペクトルタイリングを有限群 ℤ₆⁵ × ℤ₁₅ から Theorem 4.1 の構成を用いて ℤ^6 に上昇させ、タイリング性および非スペクトル性を保持する。
• Theorem 4.2 を適用し、非スペクトルタイリングを ℤ^d から ℝ^d に上昇させる。E = A + [0,1)^d を形成し、ℝ^d でタイリング可能であるがスペクトルを有さないことを示す。
• Theorem 4.2 で確立された ℤ^d と ℝ^d におけるスペクトル集合の同値性を用い、離散的および連続的設定間でスペクトル性を移動する。
• Λ が Ω に対してスペクトルであるための必要十分条件（Λ における ∑_{λ∈Λ} |χ̂_Ω|²(x−λ) = |Ω|² が双対群上でほとんど everywhere 成り立つ）を用い、スペクトル性および非スペクトル性をフーリエ零点集合を介して検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ^d で平行移動によるタイリングをなす集合は、必ずスペクトル（L²(Ω) 内の正規直交文字の基底）を有するのか？
• RQ2 有限アーベル群における集合が群をタイリングするが、そのすべてのタイリング補集合に共通するスペクトルを有さないことは可能か？
• RQ3 LagariasとWangのユニバーサルスペクトル予想は、有限アーベル群において成立するか？
• RQ4 有限群における非スペクトルタイリングは、ℤ^d および ℝ^d における非スペクトルタイリングに上昇可能か？
• RQ5 Fugledeのスペクトル集合予想の「タイリングはスペクトルを意味する」方向は、d ≥ 5 の次元で成り立つか？

主な発見

• ℤ₆⁵ × ℤ₁₅ の有限部分集合を構成し、群をタイリングするが、そのタイリング補集合に共通するスペクトルを有さない。これにより、LagariasとWangのユニバーサルスペクトル予想が反証された。
• ℤ₆⁵ × ℤ₁₅ における構成された集合は非スペクトルタイリングである。これは、有限群設定下でタイリング可能だがスペクトルを有さないことを意味する。
• Theorem 4.1 を用いて、この非スペクトルタイリングを ℤ^6 に上昇させ、ℤ^6 をタイリングするがスペクトルを有さない集合が得られた。
• Theorem 4.2 を用い、ℝ^6 における A + [0,1)^6 が ℝ^6 をタイリングするがスペクトルを有さないことが示され、ℝ^6 における反例が確立された。
• 6 と 17 が互いに素であることを利用し、構成を ℤ₆⁴ × ℤ₁₀² に適応させ、次元 5 における非スペクトルタイリングが得られ、これにより ℝ^5 への拡張がなされた。
• すべての d ≥ 5 に対して、ℝ^d で平行移動によるタイリングをなすがスペクトルを有さない集合が存在する。これにより、Fugledeのスペクトル集合予想の「タイリングはスペクトルを意味する」方向が反証された。