[論文レビュー] Tiling Problems on Baumslag-Solitar groups

Nathalie Aubrun, Jarkko Kari|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2013

Cellular Automata and Applications参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、すべての m,n > 0 に対して、 Baumslag-Solitar 群 BS(m,n) 上に弱く非周期的なタイル集合を構成し、これらの群上でドミノ問題が決定不能であることを証明する。タイリングに区分的アフィン写像とチューリング機械を符号化することで、非再帰的（非再帰的）なタイル集合の存在を示し、非可換自由群でない設定において、根本的な決定不能性と非周期性の結果を確立する。

ABSTRACT

We exhibit a weakly aperiodic tile set for Baumslag-Solitar groups, and prove that the domino problem is undecidable on these groups. A consequence of our construction is the existence of an arecursive tile set on Baumslag-Solitar groups.

研究の動機と目的

• 非可換自由群でない有限生成群におけるドミノ問題の決定可能性を調査すること。
• ドミノ問題が決定不能であることを示すために、 Baumslag-Solitar 群（2生成子1関係関係群で、語問題が決定可能）上に弱く非周期的なタイル集合を構築すること。
• Z²を超えて既知の結果を拡張し、これらの群上でドミノ問題が決定不能であることを示すこと。
• BS(m,n) 上に非再帰的（非再帰的）なタイル集合が存在することを示すこと、すなわち有効なタイリングは存在するが、すべてのタイリングが非再帰的であること。
• タイリング力学と非ユークリッド的群設定における計算的決定不能性との間の構成的関係を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、 Baumslag-Solitar 群 BS(m,n) のケイリー図形上に Wang タイルを定義し、局所的なタイリング規則を辺の色分け制約で符号化する。
• 乗算 by 2 と乗算 by 2/3 をそれぞれ 36 種類と 10 種類のタイルを用いて、BS(3,2) 上に 46 個のタイルからなる特定のタイル集合を構築し、桁上げの値を用いて算術的ダイナミクスを符号化する。
• タイル集合は、実数上の乗算 by m と除算 by n をシミュレートする動的システム T を実装する。周期性と非周期性は log_m(n) の無理数性によって決定される。
• 区分的アフィン写像の死亡問題の決定不能性を、BS(m,n) 上のドミノ問題に還元することで、既知の決定不能性結果を活用する。
• すべての再帰的入力で停止するが、一部の非再帰的入力では停止しないチューリング機械を符号化することで、有効なタイリングは存在するが、すべてのタイリングが非再帰的であることを示す。
• 証明は、群がタイリングに平行移動によって作用することに依存しており、タイリングダイナミクスにおける周期性の不在が弱い非周期性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての m,n > 0 に対して、 Baumslag-Solitar 群 BS(m,n) 上に弱く非周期的なタイル集合が存在するか？
• RQ2 語問題が決定可能で、非可換自由でないにもかかわらず、 Baumslag-Solitar 群上でドミノ問題が決定不能であるか？
• RQ3 非可換、非可換自由群（例：BS(m,n)）上に非再帰的（非再帰的）なタイル集合が存在できるか？
• RQ4 非ユークリッド的群グラフ上でのタイリングに、区分的アフィン写像のダイナミクスを効果的に符号化できるか？
• RQ5 BS(m,n) の代数的構造と、非周期的タイリングの存在との関係は何か？

主な発見

• すべての m,n > 0 に対して、BS(m,n) 上に弱く非周期的なタイル集合が存在し、特に BS(3,2) に対して 46 個のタイルを用いて明示的に構成された。
• すべての Baumslag-Solitar 群 BS(m,n) 上でドミノ問題が決定不能であることが証明された。これは、区分的アフィン写像の死亡問題の決定不能性への還元によって示された。
• BS(m,n) 上に非再帰的（非再帰的）なタイル集合が存在する。これは、有効なタイリングは存在するが、すべてのタイリングが非再帰的であることを意味し、決定不能性の新しい形を示している。
• タイル集合は、実数上の乗算 by m と除算 by n をシミュレートする動的システムを符号化しており、周期性は log_m(n) の無理数性によって決定される。
• 構成はすべての BS(m,n) に一般化可能であり、同じ証明構造と非周期性の性質を示し、m と n が互いに素でない場合でも成り立つ。
• 非可換で非可換自由でない群であっても、語問題が決定可能である場合でも、タイリング問題が決定不能であり、非再帰的解を支持することが示された。