[論文レビュー] Tiling, spectrality and aperiodicity of connected sets

Rachel Greenfeld, Mihail N. Kolountzakis|arXiv (Cornell University)|May 23, 2023

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 7

ひとこと要約

著者らは、周期タイル分解仮説とFugledeの仮説の両方に対する連結な反例を、次元上昇と折り橋技法を用いて構築し、特定の次元拡張下でスペクトル/タイル性の性質がどのように振る舞うかを示している。

ABSTRACT

Let $Ω\subset \mathbb{R}^d$ be a set of finite measure. The periodic tiling conjecture suggests that if $Ω$ tiles $\mathbb{R}^d$ by translations then it admits at least one periodic tiling. Fuglede's conjecture suggests that $Ω$ admits an orthogonal basis of exponential functions if and only if it tiles $\mathbb{R}^d$ by translations. Both conjectures are known to be false in sufficiently high dimensions, with all the so-far-known counterexamples being highly disconnected. On the other hand, both conjectures are known to be true for convex sets. In this work we study these conjectures for connected sets. We show that the periodic tiling conjecture, as well as both directions of Fuglede's conjecture are false for connected sets in sufficiently high dimensions.

研究の動機と目的

• タイルが連結であるとき、高次元で平行移動タイルは必ず周期的タイルを受理するかを調べる。
• Euclidean空間の連結集合の平行移動によるタイルとスペクトル集合を結ぶFugledeの仮説を検討する。
• タイル性とスペクトル性を保持しつつ、連結成分を結ぶ次元上昇技術を開発する。
• 高次元で連結な非周期的な平行移動タイルと連結したスペクトルでないタイルを構成する。

提案手法

• 有限タイルFをZ^dからZ^{d+2}への連結タイルF'へ折り橋構成で lifting する、非周期性維持の操作を導入する。
• 折り橋操作が非周期性とタイル性の性質を保持することを示す（Theorem 2.1）。
• より高次元にブリッジを埋め込むことで連結なスペクトル集合を構築し、タイルにはならないことを示す（Theorem 1.4）。
• 螺旋状ブリッジの反復によって、スペクトルではなく連結な翻訳タイルを構築する（Theorem 1.5）。
• 積のタイル性とスペクトル保持の議論を用いて、特定の拡張集合がタイル性またはスペクトル性を継承することを証明する（Theorem 3.1）。
• スタッキングとブリッジング技術を用いて、低次元集合の性質を高次元の連結構築へ関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイルが連結であるとき、十分に高次元で翻訳タイルは必ず周期タイルを受理するか（periodic tiling）？
• RQ2 連結集合が翻訳によってタイルを作るとき、スペクトル構造を必ず持つか（Fugledeの仮説）、またはその逆は高次元で成り立つか？
• RQ3 分離した反例を連結な反例へ変換しても、タイル性やスペクトル性を壊さずに変換できるか？
• RQ4 次元を上げてもタイル性/スペクトル性を保つ頑健な操作は何か（例：折り橋、螺旋橋、スタッキング）？

主な発見

• 十分に高次元で、翻訳によってタイルを作るが周期的でない（非周期的タイル）な連結集合が存在する。
• 十分に高次元で、連結したスペクトル集合が翻訳によってタイルを作らないケースが存在する。
• 高次元で連結な翻訳タイルが存在するがスペクトルを持たないケースが存在する。
• 特定の次元上昇操作はタイル性とスペクトル性の性質を保持する（折り橋とその派生）。
• Z^d+2の折り畳み-ブリッジ構成は、非連結な非周期的タイルの成分を結びつけつつ非周期性とタイル性を保持し、連結な非周期的タイルを生み出す。
• 高次元での螺旋-ブリッジ構成は、結合したタイルを作り、タイルはするがスペクトルではなく（スペクトル性を満たさない）ことを示し、反復を通じて非スペクトル性を維持する。