[論文レビュー] Tilings of amenable groups

Tomasz Downarowicz, Dawid Huczek+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、任意の無限可算アメーブル群に対して、有限個のタイル形状を用いて正確でエントロピーがゼロのタイリングを構成する。各タイルは小さな群のシフトに対して任意に不変である。この構成により、ゼロ次元空間上の自由でエントロピーがゼロの作用が得られ、位相的力学系における長年の未解決問題が解決され、記号的拡張やK理論への新たな応用が可能になる。

ABSTRACT

We prove that for any infinite countable amenable group $G$, any $ε> 0$ and any finite subset $K\subset G$, there exists a tiling (partition of $G$ into finite "tiles" using only finitely many "shapes"), where all the tiles are $(K; ε)$-invariant. Moreover, our tiling has topological entropy zero (i.e., subexponential complexity of patterns). As an application, we construct a free action of $G$ (in the sense that the mappings, associated to different from unity elements of $G$, have no fixpoints), on a zero-dimensional space, and which has topological entropy zero.

研究の動機と目的

• 無限可算アメーブル群に対して、任意の不変性を満たす正確なタイリング（シフトされたタイルへの分割）を構成するという未解決問題を解決すること。
• 従来の非ゼロエントロピーを示す$\varepsilon$-準タイリングの制限を克服し、タイリングのトポロジカルエントロピーをゼロに保つこと。
• ゼロ次元空間上の群の自由作用を、トポロジカルエントロピーがゼロとなるように構成し、記号的力学系および軌道同値理論への応用を可能とすること。
• 各タイリングが次のものの因子であるような、入れ子になったこのようなタイリングの系列を体系的かつ自己完結的に構成すること。
• 準タイリングにとどまらず、良好な不変性を持つ正確でエントロピーがゼロのタイリングを達成することで、オルンシュタイン＝ヴァイスの道具立ての適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 下部バナッハ密度を用いた$\varepsilon$-準タイリングを用意し、オルンシュタイン＝ヴァイスに従うが、密度推定を精緻化する。
• 重なりを解消するために、重ね合わせを解消する新しい帰納的手続きを用いて、準タイリングを互いに素で正確に被覆するものに変更する。
• 段階的にタイリングを精錬し、同一形状（同一の形状が各段階で共通）と因子構造（各タイリングが次のものから因子として得られる）を保証する。
• 大きな領域におけるパターンの複雑さが指数的でないことを保証することで、各段階でのトポロジカルエントロピーを制御する。
• 最終的なエントロピーがゼロのタイリングの系列を用いて、軌道閉包による記号的系を定義し、ゼロエントロピーおよび自由性を保証する。
• 有限位数をもつ元については、タイリング構造を用いて、1つの形状（巡回部分群）からなる部分系を定義し、群のシフトによる不動点がないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の無限可算アメーブル群は、有限個のシフトされたタイル形状への分割が可能であり、各タイルは小さな群のシフトに対して任意に不変にできるか？
• RQ2 エントロピーがゼロである、すなわち任意に小さいよりも明確にゼロとなるようなタイリングを構成することは可能か？
• RQ3 このようなタイリングを用いて、ゼロ次元空間上の群の自由作用で、トポロジカルエントロピーがゼロとなるものを構成できるか？
• RQ4 各タイリングが次のものから因子として得られ、すべて同じ有限個の形状を共有するような階層的構成が可能か？
• RQ5 このようなタイリングの存在が、アメーブル群作用における記号的拡張やK理論の分野で新たな展開をもたらすか？

主な発見

• 任意の無限可算アメーブル群$G$、任意の有限集合$K\subset G$、任意の$\varepsilon>0$に対して、$G$が有限個のシフトされたタイルに分割可能であり、各タイルが$(K,\varepsilon)$-不変である。
• 構成されたタイリングはトポロジカルエントロピーがゼロであり、大きな領域における異なるパターンの数が指数的でない。
• $G$がゼロ次元コンパクト距離空間上で自由に作用する記号的系を用いて構成されたトポロジカルエントロピーがゼロの作用が存在する。
• 各単位元でない群元$g$に対して、エントロピーがゼロである記号的部分系$\mathfrak{X}_g$が構成され、その中でどの点も$g$によるシフトで不動点にならない。
• $g$が有限位数をもつ場合、タイリングは$g$で生成される巡回部分群に基づき、結果として得られる部分系は、1つのタイルに高々1つの中心しか含まないため、不動点がないことを保証する。
• 最終的な系$\mathfrak{X} = \prod_{g \neq e} \mathfrak{X}_g$は、ゼロ次元空間上の自由でエントロピーがゼロの作用であり、可算積においてもエントロピーがゼロのまま保たれる。