[論文レビュー] Tilted stable subordinators, Gamma time changes and Occupation Time of rays by Bessel Spiders

Lancelot F. James, Marc Yor|ArXiv.org|Jan 2, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、独立なガンマ過程による時間変更を受ける傾き付き安定的サブオルダナリアンと、Besselスパイダーまたはそのブリッジにおけるレイトの滞在時間の間の法則的同一性を確立する。拡張された局所時間理論を用いて、指数分布に従う時刻におけるBesselスパイダーのレイトにおける滞在時間の同時分布が、一般化された正のリンニク過程の法則と一致することを証明し、時間変更を受けるリーヴィ過程とマルコフ過程における局所時間の間の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

We exhibit, in the form of some identities in law, some connections between tilted stable subordinators, time-changed by independent Gamma processes and the occupation times of Bessel spiders, or their bridges. These identities in law are then explained thanks to excursion theory.

研究の動機と目的

• 時間変更を受ける傾き付き安定的サブオルダナリアンとBesselスパイダーのレイトにおける滞在時間の間の明示的法則的同一性を確立すること。
• GGC（一般化ガンマ畳み込み）型のサブオルダナリアンに関する既知の結果を、明示的な周辺分布を伴って一般化すること。
• 特に局所時間およびマルコフ過程における逆局所時間の役割に注目して、局所時間理論を通じてこれらの同一性を説明すること。
• Bessel過程の文脈において、安定的サブオルダナリアン、ガンマ過程、およびベータ分布または逆ガンマ分布に従う確率変数の結果を統一すること。

提案手法

• 時間変更が独立なガンマ過程である一般化された正のリンニク過程を、時間変更を受ける安定的サブオルダナリアンとして構築する。
• エッスチャー変換を用いて、パrameter $\nu_i$ を持つ安定的サブオルダナリアンに関連するサブオルダナリアンを定義し、$\mathbb{E}[\exp(-\lambda T^{(\nu_i)}_\alpha(u))] = \exp(-u[(\nu_i + \lambda)^\alpha - \nu_i^\alpha])$ を得る。
• 局所時間理論を用いて、マルコフ過程におけるあるランダムな指数分布に従う時刻における局所時間の逆と、Besselスパイダーのレイトにおける滞在時間との関係を確立する。
• 重要な法則的同一性を導出する：$\{\nu_i \mathscr{C}^{(\nu_i)}_\alpha(\mathbf{e}); \mathbf{e}\} \overset{d}{=} \{A^{(i)}_{g_{\mathbf{e}}}; L_{\mathbf{e}}\}$、ここで $g_{\mathbf{e}}$ はゼロからの最後の退出時刻を表す。
• Bessel過程のスケーリング性質と伊藤の拡張測度の構造を用いて、局所時間過程の前後における法則を分解する。
• 滞在時間のラプラス関数をサブオルダナリアンの指数的傾きに結びつける補題を適用し、$\mathbb{E}[\exp(-\sum_j \lambda_j A^{(j)}_{g_{\mathbf{e}}})] = \mathbb{E}[\exp(-\sum_j (\lambda_j + 1) A^{(j)}_{\tau_\ell})] \cdot \exp(\ell)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 傾き付き安定的サブオルダナリアンが独立なガンマ過程によって時間変更を受けるとき、Besselスパイダーのレイトにおける滞在時間とどのように関係するか？
• RQ2 Besselスパイダーの複数のレイトにおける滞在時間の同時分布は、時間変更を受けるリーヴィ過程で表現可能か？
• RQ3 局所時間理論は、指数分布に従う時刻におけるBessel過程の局所時間と滞在時間の法則をどのように結びつけるか？
• RQ4 伊藤の拡張測度の構造と局所時間サブオルダナリアンのベルンシュタイン関数は、滞在時間の分布にどのように関係するか？
• RQ5 時間変更を受けるサブオルダナリアンとBesselスパイダーの滞在時間の間の法則的同一性は、一般化された局所時間理論フレームワークから導出可能か？

主な発見

• 法則的同一性 $\{\nu_i \mathscr{C}^{(\nu_i)}_\alpha(\mathbf{e}); \mathbf{e}\} \overset{d}{=} \{A^{(i)}_{g_{\mathbf{e}}}; L_{\mathbf{e}}\}$ が成り立つ。ここで $\mathbf{e}$ は指数分布に従う確率変数、$g_{\mathbf{e}}$ はゼロからの最後の退出時刻、$A^{(i)}_t$ はレイトにおける加法的関数である。
• $\varepsilon_1(t)$ の周辺分布は $\gamma_{t/2}/\beta_{(1/2, (1+t)/2)}$、$\varepsilon_2(t)$ の周辺分布は $\gamma_{t/2} \beta_{((1+t)/2, (1+t)/2)}$ である。これは、特定の傾き付き安定的サブオルダナリアンの明示的分布を確認する。
• スパイダーにおける滞在時間過程のラプラス関数は $\mathbb{E}[\exp(-\sum_j (\lambda_j + 1) A^{(j)}_{\tau_\ell})] \cdot \exp(\ell)$ に等しく、これにより、傾き付きサブオルダナリアンの分布と関連づけられる。
• $g_{\mathbf{e}}$ の前後における過程は、$L_{\mathbf{e}} = \ell$ を条件とするとき、独立に分布する。前段の過程は、時間変更測度の下での $\tau_\ell$ 停止過程と同一分布に従う。
• 後段の過程の法則は $\frac{1}{\psi(1)}(1 - \exp(-V(\varepsilon))) \mathbf{n}(d\varepsilon)$ で与えられる。ここで $\mathbf{n}$ は拡張測度、$V(\varepsilon)$ は拡張の寿命を表す。
• 既知のアークサイン則と安定的サブオルダナリアンに関する同一性を一般化し、Besselスパイダーのレイトにおける滞在時間はパrameter $(\mu, \nu)$ を持つ一般化された正のリンニク過程に対応することが示された。