[論文レビュー] Time analyticity for the heat equation and Navier-Stokes equations

Hongjie Dong, Qi S. Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リッチ曲率が下から有界な多様体上の熱方程式の解および全空間におけるナビエ＝ストークス方程式の有界な穏やかな解について、2次の指数的成長条件の下で、時刻に関する点ごとの解析的性質を確立する。主な結果は、適切に不適切な後向き熱方程式に対する鋭い可解性基準であり、実変数法を用いた一般化された点ごとの時間解析的性質の初の結果である。

ABSTRACT

We prove the analyticity in time for solutions of two parabolic equations in the whole space, without any decaying or vanishing conditions. One of them involves solutions to the heat equation of exponential growth of order $2$ on $\M$. Here $\M$ is $\R^d$ or a complete noncompact manifold with Ricci curvature bounded from below by a constant. An implication is a sharp solvability condition for the Cauchy problem of the backward heat equation, which is a well known ill-posed problem. Another implication is a sharp criteria for time analyticity of solutions down to the initial time. The other pertains bounded mild solutions of the incompressible Navier-Stokes equations in the whole space. There are many long established analyticity results for the Navier-Stokes equations. See for example \cite{Ka:1} and \cite{FT:1} for spatial and time analyticity in certain integral sense, \cite{CN:1} for pointwise space-time analyticity of 3 dimensional solutions to the Cauchy problem, and also the pointwise time analyticity results of \cite{Ma:1} and \cite{Gi:1} under zero boundary condition. Our result seems to be the first general pointwise time analyticity result for the Cauchy problem for all dimensions, whose proof involves only real variable method. The proof involves a method of algebraically manipulating the integral kernel, which appears applicable to other evolution equations.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな完全多様体上でリッチ曲率が下から有界な熱方程式の解について、時間解析的性質を確立すること。
• 2次指数的成長を有する解のクラスにおいて、不適切な後向き熱方程式に対する鋭い可解性条件を提供すること。
• 全空間における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の有界な穏やかな解について、点ごとの時間解析的性質を証明すること。
• 複素化や積分ノルムを避ける一般の放物型方程式に適用可能な実変数法を開発すること。
• 境界条件や減衰条件を課さずに、初期時刻まで時間解析的性質を一般化し、時間区間全体に拡張すること。

提案手法

• 複素化技術を避けるために、熱伝搬作用素の積分核を代数的に操作する実変数法を用いる。
• 高階時間微分のスケーリングされた解を制御するために、グローワルの不等式を適用する。
• 帰納法とライブニッツ則を用いて、$ t^n u(t,x) $ の時間微分を推定し、熱核およびその微分の減衰推定を活用する。
• $ \partial_t^n(t^n u) $ の $ L_∞ $-ノルムの境界を導出し、$ N^n n^n $ の成長に制御されることを示し、テイラー級数の収束を示す。
• 空間的正則性と時間解析的性質を結びつけるために、構造 $ \Delta a_j = a_{j+1} $ を用いる。
• 実変数法を熱方程式の多様体上およびナビエ＝ストークス方程式に適用し、後者は穏やかな解の定式化と畳み込み構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が下から有界な多様体上の熱方程式の解について、無限遠で減衰や消滅条件を課さずに、時間解析的性質を確立できるか？
• RQ2 2次指数的成長を有する解のクラスにおいて、後向き熱方程式に対する鋭い可解性基準は存在するか？
• RQ3 全空間 $ \mathbb{R}^d $ におけるナビエ＝ストークス方程式の有界な穏やかな解について、点ごとの時間解析的性質はすべての次元で成り立ち、実変数法によって証明可能か？
• RQ4 積分核の代数的操作に基づく手法は、熱方程式やナビエ＝ストークス方程式を超える一般の放物型方程式へ一般化可能か？
• RQ5 時間解析的性質が成り立つために必要な解の最適な成長条件は何か？また、2次指数的成長は鋭いか？

主な発見

• リッチ曲率が $ \mathrm{Ric} \geq -(d-1)K_0 $ を満たし、2次指数的成長を有する多様体上の熱方程式の解は、$ [-1,0] $ 上で時間解析的であり、半径は $ d $, $ K_0 $, および成長定数 $ A_2 $ のみに依存する。
• 解は収束するテイラー級数に展開可能である：$ u(t,x) = \sum_{j=0}^\infty a_j(x) \frac{t^j}{j!} $、ここで $ \Delta a_j = a_{j+1} $ が成り立つ。
• 係数は $ |a_j(x)| \leq A_1 A_3^{j+1} j^j e^{2A_2 d^2(x,0)} $ の境界を満たし、$ j $ に関して制御された成長を示す。
• 全空間 $ \mathbb{R}^d $ におけるナビエ＝ストークス方程式の有界な穏やかな解については、時間解析的であることが示され、一意的拡張や特異点解析への応用が可能である。
• この手法により、後向き熱方程式に対する鋭い可解性条件が得られ、解が存在するための必要十分条件は、時間解析的であることと成長条件を満たすことである。
• 時間微分 $ \partial_t^n(t^n u) $ の実変数推定に基づく証明技法により、$ \| \partial_t^n(t^n u) \|_{L_\infty} \leq N^n n^n $ が得られ、テイラー級数の収束が確認される。