[論文レビュー] Time consistent convex Feller processes and non linear second order partial differential equations

Jocelyne Bion–Nadal|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、退化する場合を含め、時間整合性を持つ凸な動的リスク測度と2階非線形放物型PDEのバナッハ解との間の関係を確立する。マーティングール問題のアプローチとペナルティ関数による時間整合性を活用し、凸な生成子を有するHJB型方程式に対して、バナッハ解をもたらすFeller過程を構築する。金融分野における確率的ボラティリティとアービタージュなし価格設定への応用を含む。

ABSTRACT

This paper shows how the theory of dynamic risk measures provides viscosity solutions to a family of second-order parabolic partial differential equations, even in the degenerate case. First, motivated by the martingale problem approach of Stroock and Varadhan, we make use of the time consistency characterization for dynamic risk measures, to construct time consistent convex Markov processes. This is done in a general setting in which compacity arguments cannot be used, and for which there does not always exist an optimal control. Second, we prove that these processes lead to viscosity solutions for semi linear second-order partial differential equations with convex generator. Finally we give an application to mathematical finance. We show that our results allow for the construction of a No Arbitrage Pricing Procedure in the context of stochastic volatility. Within this approach, convexity takes into account liquidy risk.

研究の動機と目的

• コンパクト性や最適制御の存在を仮定しない一般設定において、時間整合性を持つ凸なマルコフ過程を構築すること。
• このような過程が、凸な生成子を有する半線形2階PDEに対してバナッハ解をもたらすことを証明すること。
• 古典的解が失敗する非退化でない場合を含めた、退化ケースへの理論の拡張。
• 数学的ファイナンスへの応用、特に確率的ボラティリティおよび流動性リスク下でのアービタージュなし価格設定。
• リスク測度における凸性が、観察された指値注文書データと整合する流動性リスクを捉えられることを示すこと。

提案手法

• ストルックとバラダハンのマーティングール問題のアプローチを用い、与えられた初期条件から出発する連続路への確率測度を定義する。
• 多価関数の逐次可測過程 $\mu(s,\omega) \in \Lambda(s, X_s(\omega))$ を用いて、安定な同値確率測度の集合を構築する。
• 局所ペナルティ関数 $\alpha_{s,t}(P^\mu_{r,y}) = \mathbb{E}_{P^\mu_{r,y}}\left[\int_s^t g(u,X_u,\mu(u,\omega))du \middle| \mathcal{F}^r_s\right]$ を定義し、コサイクル条件を満たすようにする。
• 時間整合性を持つ凸な動的手続きを $\Pi^{r,y}_{s,t}(Y) = \operatorname{esssup}_{P^\mu_{r,y} \in \widetilde{\mathcal{Q}}_{r,y}^S(\Lambda)} \left( \mathbb{E}_{P^\mu_{r,y}}(Y|\mathcal{F}^r_s) - \alpha_{s,t}(P^\mu_{r,y}) \right)$ として定義する。
• HJB方程式 $\partial_u v + \mathcal{L}v + f(t,x,\sigma^* Dv) = 0$ に対して、凸な $f$ を用いてバナッハ解を構築する理論を適用する。
• 手続きが正規化されており、時間整合性、凸性、下からの連続性を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト性や最適制御の存在を仮定しない条件下で、時間整合性を持つ凸な動的リスク測度を構築できるか？
• RQ2 このような測度が、退化する場合を含む2階非線形PDEに対してバナッハ解をもたらすか？
• RQ3 リスク測度における凸性が、金融市場における流動性リスクをどのように反映するか？
• RQ4 この枠組みは、確率的ボラティリティ下でのアービタージュなし価格設定手続きを支えることができるか？
• RQ5 ペナルティ関数がコサイクル条件および局所的性質を満たすために必要な条件は何か？

主な発見

• 本稿は、安定な確率測度の集合とコサイクル条件を満たす局所ペナルティ関数を用いて、時間整合性を持つ凸なマルコフ過程を構築する。
• 動的手続き $\Pi^{r,y}_{s,t}$ が、凸な生成子を有する半線形2階PDEに対して、退化する場合を含めてバナッハ解をもたらすことを証明する。
• 解の枠組みは、一様強楕円性を要件としないHJB方程式にも適用可能である。
• 関数 $h$ がホルダー連続である場合、構成によりPDEのバナッハ上位解および下位解が得られる。
• 本手法により、観察された指値注文書データと整合する一貫性のある買付・売却価格のオプション評価が可能となる。
• ペナルティに基づく構成は汎用的である：ブラウン運動フィルトレーション上での正規化された時間整合性を持つ動的リスク測度は、すべてこのような手続きの極限として得られる。