[論文レビュー] Time Consistent Stopping For The Mean-Standard Deviation Problem --- The Discrete Time Case

Erhan Bayraktar, Jingjie Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Auction Theory and Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、時間的一致性を達成するために、離散時間における無限ホライズンの平均-標準偏差停止問題を部分ゲーム完全ナッシュ均衡として定式化する。流動化戦略（停止権が分割可能である戦略）を導入し、均衡流動化戦略が常に存在することを証明するが、最適な均衡は一意的であるとは限らず、そもそも存在しない場合もある。

ABSTRACT

Inspired by Strotz's consistent planning strategy, we formulate the infinite horizon mean-variance stopping problem as a subgame perfect Nash equilibrium in order to determine time consistent strategies with no regret. Equilibria among stopping times or randomized stopping times may not exist. This motivates us to consider the notion of liquidation strategies, which lets the stopping right to be divisible. We then argue that the mean-standard deviation variant of this problem makes more sense for this type of strategies in terms of time consistency. It turns out that an equilibrium liquidation strategy always exists. We then analyze whether optimal equilibrium liquidation strategies exist and whether they are unique and observe that neither may hold.

研究の動機と目的

• 時間的一致性を解消するため、平均分散最適停止問題を部分ゲーム完全ナッシュ均衡として定式化すること。
• 無限ホライズンの離 discrete 時間設定において、純粋または確率的停止時刻における均衡の存在が失敗することを扱うこと。
• 停止権が分割可能であり、時間的一致性を回復できる、新たな混合戦略のクラスとして流動化戦略を導入すること。
• 平均-標準偏差基準における均衡流動化戦略の存在、一意性、最適性を分析すること。
• 最適な均衡が存在しないか一意的でない場合があるものの、パレート最適な均衡流動化戦略は常に存在することを示すこと。

提案手法

• 時間的一致性を保証するために、平均-標準偏差問題を部分ゲーム完全ナッシュ均衡として定式化すること。
• 停止時刻が状態にわたる停止権の連続的割り当てとして表現される流動化戦略を導入すること。
• 均衡条件を固定点問題として定義する：戦略ηが均衡であるとは、各状態xにおいて液体化報酬を最大化することである。
• 固定されたηに対して最適反応ξ(·) = h_x(η)を生成する演算子Tを定義し、固定点を解くこと。
• 均衡戦略を、h_x(η) = η(x)という条件によって特徴付ける。ここでh_x(η)は、平均-標準偏差基準の二次計画による導出である。
• 具体的な例において、存在性および一意性を確認するため、図解的および解析的手法を用い、曲線g_x(a,b) = xの交点を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限ホライズンの離散時間における平均-標準偏差停止問題において、純粋または確率的停止時刻における均衡は存在するか？
• RQ2 流動化戦略は、平均-標準偏差停止問題における時間的一致性を解消できるか？
• RQ3 最適な均衡流動化戦略が存在する条件は何か？また、それは一意的か？
• RQ4 パレート最適な均衡流動化戦略は、保証して存在するか？
• RQ5 特定のマルコフ過程において、平均および分散の液体化報酬は、戦略パラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 無限ホライズンの離散時間における平均-標準偏差停止問題において、純粋または確率的停止時刻における均衡は存在しない可能性がある。
• 停止権が分割可能な流動化戦略は、常に少なくとも一つの均衡を有する。
• 点ごとの優越性の意味での最適均衡は、存在しない可能性がある。
• 最適均衡が存在する場合でも、パrameter空間の境界上に複数の均衡点があることから、一意的でないことがある。
• 例題4.1では、曲線h_1(a,b) = aとh_7(a,b) = 7の交点がちょうど1つ存在し、それに対応する一意な均衡流動化戦略が存在する。
• 例題4.2では、曲線g_11(a,b) = 11とg_17(a,b) = 17の交点が5点存在し、図解的分析によりそれらすべてが均衡として確認された。