[論文レビュー] Time-convexity of the entropy in the multiphasic formulation of the incompressible euler equation

Hugo Lavenant|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、凸領域において、Brenierの非圧縮性Euler方程式の多相形式における時間平均エントロピーが時間に関して凸であることを証明し、Brenierの予想を裏付ける。著者らは、JKOスキームにインspiredされた時間離散化流交換不等式を導入し、Wasserstein空間における凸性と非圧縮性制約を活用してこの結果を確立する。

ABSTRACT

We study the multiphasic formulation of the incompressible Euler equation introduced by Brenier: infinitely many phases evolve according to the compressible Euler equation and are coupled through a global in-compressibility constraint. We are able to prove that the entropy, when averaged over all phases, is a convex function of time, a result that was conjectured by Brenier. The novelty in our approach consists in introducing a time-discretization that allows us to import a flow interchange inequality previously used by Matthes, McCann and Savar{\\'e} to study first order in time PDE, namely the JKO scheme associated with non-linear parabolic equations.

研究の動機と目的

• 非圧縮性Euler方程式の多相形式における平均エントロピーの時間凸性を証明し、Brenierの予想を裏付ける。
• 流体相が圧縮性力学に従って進化するが、グローバルな非圧縮性制約によって結合される変分的枠組みを確立する。
• Wasserstein空間における最適軌道に沿ったエントロピーの正則性および凸性特性を分析する。
• JKOスキームの流交換不等式技術を、流体力学に現れる2階時間微分方程式に拡張する。
• パrametric境界条件の下で、最小作用解をエントロピーと作用最小化の観点から特徴付ける。

提案手法

• 2階時間微分を扱うために、多相Euler系の時間離散化版を導入する。
• Matthes, McCann, and Savaréの流交換不等式を適用して、エントロピーの時間的進化を制御する。
• 位相空間におけるエントロピーと作用の凸汎関数にJensenの不等式を適用し、境界を導出する。
• 確率測度の分解を用いて、グローバルな交通計画から位相軌道の族を構成する。
• ドメインの凸性に依存して、エントロピーの2階微分における境界項の非負性を保証する。
• 速度場のHamilton-Jacobi形式をポテンシャルの勾配として用い、最適輸送理論と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸領域の仮定の下で、多相非圧縮性Euler方程式における平均エントロピーは時間に関して凸か？
• RQ2 JKOスキームの流交換不等式は、変分的流体モデルに由来する2階時間微分方程式に適応可能か？
• RQ3 個々の相が分裂または拡散する場合（古典的Dirac解から逸脱する場合）、エントロピーの時間凸性は維持されるか？
• RQ4 非圧縮性制約は多相フレームワークにおけるエントロピー進化とどのように相互作用するか？
• RQ5 境界条件にパラメトリック形式が与えられた場合、最小作用解をエントロピーと作用最小化によってパラメータ化可能か？

主な発見

• 平均エントロピー $ H(t) $ の2階微分は凸領域では非負であり、時間凸性が証明される。
• 境界における重要な項 $ abla p_t \cdot n $ はドメインの凸性により非負であり、$ H''(t) $ の下界を保証する。
• 時間離散化された流交換不等式はエントロピー進化を効果的に制御でき、凸性証明に成功した。
• 構築された解の作用とエントロピーは、それぞれ $ \mathcal{A}_P(\rho,\mathbf{v}) \leq \mathcal{A}(Q) $ および $ H_P(\rho,\mathbf{v})(t) \leq H_Q(t) $ を満たす。
• 境界条件がパラメトリックに与えられた場合、最小総エントロピー解はパラメータ化可能である。
• ドメイン $ \Omega $ が凸であれば、$ \mathcal{P}(\Omega) $ 内の任意の初期および最終密度に対して結果が成り立つ。