[論文レビュー] Time-dependence in non-Hermitian quantum systems

Thomas Frith|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 137被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、時間に依存するダイソン方程式および準ヒルベルト性方程式、ルイス＝ライゼンフェルト不変量、ダーブルックス変換を用いて、時間に依存する非エルミート量子系の包括的枠組みを構築する。特に、PT対称性の自発的破れを示す系、例えば2準位系、スピン系、結合振動子系に対して解析的解を確立し、時間に依存する写像によってPT対称性が保存されたり修復されたりすることを示す。また、この形式的枠組みをエントロピーの時間発展および可解なポテンシャルへの応用に適用する。

ABSTRACT

We present a coherent and consistent framework for explicit time-dependence in non-Hermitian quantum mechanics. The area of non-Hermitian quantum mechanics has been growing rapidly over the past twenty years. This has been driven by the fact that $\mathcal{PT}$-symmetric non-Hermitian systems exhibit real energy eigenvalues and unitary time evolution. Historically, the introduction of time into the world of non-Hermitian quantum mechanics has been a conceptually difficult problem to address, as it requires the Hamiltonian to become unobservable. We solve this issue with the introduction of a new observable energy operator and explain why its instigation is a necessary and natural progression in this setting. For the first time, the introduction of time has allowed us to make sense of the parameter regime in which the $\mathcal{PT}$-symmetry is spontaneously broken. Ordinarily, in the time-independent setting, the energy eigenvalues become complex and the wave functions are asymptotically unbounded. We demonstrate that in the time-dependent setting this broken symmetry can be mended and analysis on the spontaneously broken $\mathcal{PT}$ regime is indeed possible. We provide many examples of this mending on a wide range of different systems, beginning with a $2 imes2$ matrix model and extending to higher dimensional matrix models and coupled harmonic oscillator systems with infinite Hilbert space. Furthermore, we use the framework to perform analysis on time-dependent quasi-exactly solvable models. We present the "eternal life" of entropy in this thesis. Ordinarily, for entangled quantum systems coupled to the environments, the entropy decays rapidly to zero. However, in the spontaneously broken regime, we find the entropy decays asymptotically to a non-zero value. We create an elegant framework for Darboux and Darboux/Crum transformations for time-dependent non-Hermitian Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 静的状況を超えた時間に依存する非エルミート量子力学の厳密な形式的枠組みを確立すること。
• 時間発展系におけるPT対称性の破れという課題に、時間に依存するダイソン写像および準ヒルベルト構造を構築することで対処すること。
• ルイス＝ライゼンフェルト不変量やダーブルックス変換といった可解化手法を、時間に依存する非エルミートハミルトニアンへと拡張すること。
• 特に系-バスターモデルにおけるエンタングルメントエントロピーを含む、開放系における非エルミート系のエントロピー動的挙動を分析すること。
• 時間に依存するダーブルックス＝クラム変換を用いて、複素Gordon-Volkovハミルトニアンから出発して、新たな可解な非エルミートポテンシャルを構築すること。

提案手法

• さまざまなハミルトニアンクラスに対して、行列および代数的技法を用いて時間に依存するダイソン方程式および時間に依存する準ヒルベルト性方程式を解く。
• 時間に依存する非エルミート系にルイス＝ライゼンフェルト不変量を適用し、類似変換を介してダイソン写像と結びつける。
• 時間に依存するダーブルックス＝クラム変換を用いて、既知の系から新たな可解な非エルミートポテンシャルを生成する。
• 減衰項を含むエルマコフ＝ピネイ方程式を標準形に変換することで、質量関数の積分を用いた明示的解を得る。
• 反転調和振動子やi(xy)およびixy相互作用を有する結合振動子系など、時間に依存するダイソン写像を構築する。
• Von Neumannエントロピーを用いて、PT対称性下の系-バスターモデルにおけるエントロピー時間発展を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミートハミルトニアンが自発的PT対称性破れを示す系に対して、時間に依存するダイソン写像をどのように構築できるか？
• RQ2 時間に依存するルイス＝ライゼンフェルト不変量を用いて、非エルミート系における時間に依存するシュレーディンガー方程式を解くことができるか？
• RQ3 時間発展系における非エルミート系で、破れたPT対称性を修復するための条件は何か？
• RQ4 時間に依存するダーブルックス変換は、どのように新たな可解な非エルミートポテンシャルを生成するか？
• RQ5 非エルミート系-バスターモデルにおけるエンタングルメントエントロピーは、時間発展に伴いどのように振る舞うか？

主な発見

• 適切に調整された時間依存性を有する系では、2準位系やスピン-1系において、時間に依存するダイソン写像がPT対称性を回復することに成功した。
• i(xy)結合振動子系に対しては、有効ハミルトニアンのエルミート性を保つ時間に依存するダイソン写像が構築され、正確な解が得られた。
• 破れたPT領域におけるエネルギー観測量 Ẽ±(t) は、時間依存振幅を示す周期的挙動を示し、非自明な動的挙動を示している。
• 反転調和振動子の場合、物理的構造を維持する時間に依存するダイソン写像が導出された。
• 減衰項を含むエルマコフ＝ピネイ方程式は、標準形への変換を用いて正確に解かれ、質量関数の積分を用いた明示的解が得られた。
• 系-バスターモデルにおけるエントロピー時間発展は、結合定数と時間発展の性質に応じて、3つの異なる領域に分けられる：周期的振動、指数的減衰、非単調的挙動。