[論文レビュー] Time dependence of occupation numbers and thermalization time in closed chaotic many-body systems

V. V. Flambaum, F. M. Izrailev|ArXiv.org|Aug 23, 2001

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、相互作用するフェルミ粒子で構成される閉じた力学的系における占有数の時間発展を記述する単純な理論的枠組みを提案する。初期状態の生存確率と対角近似を用いることで、占有数が時間スケールτで平衡状態（例えばフェルミ・ディラック分布）に緩和することを示し、弱い（ブレイト・ウイナー型）および強い（ガウス型）相互作用領域において、理論と数値シミュレーションの間で良好な一致が得られている。

ABSTRACT

We study the time evolution of occupation numbers for interacting Fermi-particles in the situation when exact compound states are "chaotic". This situation is generic for highly excited many-particles states in heavy nuclei, complex atoms, quantum dots, spin systems and quantum computer models. Numerical data show perfect agreement with a simple theory for the onset of thermalization in close systems of interacting particles.

研究の動機と目的

• 閉じた力学的系における相互作用するフェルミ粒子系の占有数の時間発展を理解すること。
• 占有数の熱化の開始を特徴付ける時間スケールτを特定すること。
• 平衡状態への占有数の緩和ダイナミクスを捉える単純な解析的モデルを構築すること。
• ランダムな2体相互作用ハミルトニアンを用いた数値シミュレーションにより、モデルを検証すること。
• F関数および準位間隔統計が熱化ダイナミクスに与える役割を明確にすること。

提案手法

• 系の時間発展は、正確な固有状態の重ね合わせを用いてモデル化され、初期状態はこれらの固有状態の和として表現される。
• 占有数 $ n_{\alpha}(t) $ は、数演算子 $ \hat{n}_{\alpha} $ の期待値から計算され、対角項と非対角項に分解される。
• 非対角項 $ S_{q}^{(fl)} $ は、時間の経過とともにゼロに平均化されると仮定され、対角項 $ S_{q}^{(d)} $ が支配的寄与となる。
• 対角項は、平均 $ \overline{S_{q}^{(d)}} $ を用いて近似され、F関数 $ F(E_i, E) $ と状態密度 $ \rho(E) $ を含む。
• F関数は、相互作用の強さに応じてブレイト・ウイナー型またはガウス型としてモデル化され、フェルミの黄金律および準位間隔統計から導かれるパラメータを用いる。
• 占有数の時間依存性は、$ n_{\alpha}(t) = n_{\alpha}(0)W_0(t) + n_{\alpha}(\infty)(1 - W_0(t)) $ としてモデル化され、ここで $ W_0(t) $ は初期状態の生存確率である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた力学的系における初期の占有数の熱化に要する時間スケールτは何か？
• RQ2 F関数の形状（ブレイト・ウイナー型対ガウス型）が占有数の緩和ダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ3 初期状態の生存確率に基づく単純な解析的モデルが、占有数の時間発展をどの程度よく記述できるか？
• RQ4 弱い相互作用領域と強い相互作用領域における熱化プロセスの間で、量子的揺らぎや振動はどのように異なるか？
• RQ5 固有状態の主要成分数と観測される熱化時間の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 占有数の時間発展は、生存確率 $ W_0(t) $ を含む単純なモデルでよく記述され、理論と数値シミュレーションの間で良好な一致が得られた。
• 弱い相互作用領域（ブレイト・ウイナー型F関数）では、主成分数が少ないため、減衰振動を示し、大きな揺らぎが生じる。
• 強い相互作用領域（ガウス型F関数）では、主成分数が多いことから、単調かつ速やかに緩和され、揺らぎは小さい。
• 熱化時間τは、占有数の熱化の開始を特徴付ける特徴的な時間スケールであり、完全な統計的平衡に達するまでのより長い時間スケールとは明確に区別される。
• 平衡状態の占有数 $ n_{\alpha}(\infty) $ は、無限大温度極限と整合的であり、対称系の場合は $ n_{\alpha}(\infty) = n/m = 1/2 $ となる。
• 12軌道に6個のフェルミ粒子を用いた数値シミュレーションは、両相互作用領域において理論的予測を確認し、モデルの頑健性を裏付けた。