[論文レビュー] Time-dependent Darboux transformation and supersymmetric hierarchy of Fokker-Planck equations

Choon-Lin Ho|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定常でない漂流と定常拡散を伴うFokker-Planck方程式（FPEs）を解くための時刻に依存するDarboux変換フレームワークを導入する。FPEを非定常シュレーディンガー方程式に写像し、超対称量子力学の手法を適用することで、漂流ポテンシャルが形状不変性を満たす場合、解がDarboux変換によって関連づけられるFPEの階層を構築する。これにより、広範な時刻に依存する系に対して正確な解析的解が得られる。

ABSTRACT

A procedure is presented for solving the Fokker-Planck equation with constant diffusion but non-stationary drift. It is based on the correspondence between the Fokker-Planck equation and the non-stationary Schr\"odinger equation. The formalism of supersymmetric quantum mechanics is extended by applying the Darboux transformation directly to the non-stationary Schr\"odinger equation. From a solution of a Fokker-Planck equation a solution of the Darboux partner is obtained. For drift coefficients satisfying the condition of shape invariance, a supersymmetric hierarchy of Fokker-Planck equations with solutions related by the Darboux transformation is obtained.

研究の動機と目的

• Fokker-Planck方程式を解くために、超対称量子力学を時刻に依存する系へと拡張すること。
• 定常でない漂流と定常拡散を伴うFPEの正確な解を生成する体系的な手法を開発すること。
• 形状不変ポテンシャルを用いてFPEの超対称階層を確立すること。
• パートナーフォームのFPEの解が時刻に依存するDarboux変換によって関連づけられることを示すこと。

提案手法

• 拡散が定数であるFokker-Planck方程式を、変換P(x,t) = e^{-W(x,t)}ψ(x,t)により非定常シュレーディンガー方程式に写像する。
• 元の方程式の解ψ₀を用いて、非定常シュレーディンガー方程式に直接的に時刻に依存するDarboux変換を適用する。
• 変換されたポテンシャルṼと波動関数ψ̃を、公式Ṽ = V - 2(ln ψ₀)′′およびψ̃ = (∂x - (ln ψ₀)′)ψにより導出する。
• 前位能W(x,t)を用いて、漂流係数をD(1)(x,t) = -2W′(x,t)として定義し、FPEと量子力学的ポテンシャルを結びつける。
• 前位能W₀に形状不変性条件を課すことで、等スペクトルな解を有するFPEの再帰的階層を生成する。
• 微分および指数因子を含む再帰的公式を用いて、Pₙ(x,t)からPₙ₊₁(x,t)のn番目の解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻に依存するDarboux変換は、定常拡散を伴う非定常Fokker-Planck方程式に適用可能か？
• RQ2 超対称量子力学はどのように時刻に依存する系へと拡張され、FPEを解くために用いられるか？
• RQ3 超対称階層のFPEを解析的に解ける解を有するように構築するための条件は何か？
• RQ4 前位能の形状不変性が、閉形式の解階層をもたらす条件は何か？

主な発見

• 定常拡散を伴うFokker-Planck方程式から導出された非定常シュレーディンガー方程式に、時刻に依存するDarboux変換が成功裏に適用された。
• Fokker-Planck方程式の解とそのDarbouxパートナーの解は、解ψ₀の対数微分を含む変換によって関連づけられる。
• 前位能W₀が形状不変性条件を満たす場合、各々の解がDarboux変換によって関連づけられるFokker-Planck方程式の完全な階層が生成される。
• 階層のn番目のメンバーの漂流係数はD(1) = -2W′ₙであり、ここにWₙはパラメータ集合{a₀, a₁, ...}でパラメータ化された前位能である。
• (n+1)番目のFPEの解Pₙ₊₁(x,t)は、Pₙ(x,t)から公式Pₙ₊₁ = e^{-(Wₙ₊₁ - Rₙt)}(∂x + W′ₙ)(e^{Wₙ}Pₙ)を用いて得られる。ここでRₙは時刻に依存するスケーリング因子である。
• この手法により、非定常漂流を伴う広範なFPEクラスに対して正確な解析的解が得られ、超対称的手法の適用範囲が時刻に依存しない場合に限らず拡張された。