[論文レビュー] Time Dependent Hamiltonian Simulation Using Discrete Clock Constructions

J. Watkins, Nathan Wiebe+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間に依存するハミルトニアンを、拡大されたヒルベルト空間上の時間に依存しない系に写像することで、時間に依存しない手法（積分公式およびキュービット化）を用いてシミュレートするための離散時計構成を導入する。この手法は、誤差の多対数的スケーリングと交換子依存の誤差抑制を達成し、物理的に局所的な時間に依存するハミルトニアンに対して既存の手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Compared with time independent Hamiltonians, the dynamics of generic quantum Hamiltonians $H(t)$ are complicated by the presence of time ordering in the evolution operator. In the context of digital quantum simulation, this difficulty prevents a direct adaptation of time independent simulation algorithms for time dependent simulation. However, there exists a framework within the theory of dynamical systems which eliminates time ordering by adding a "clock" degree of freedom. In this work, we provide a computational framework, based on this reduction, for encoding time dependent dynamics as time independent systems. As a result, we make two advances in digital Hamiltonian simulation. First, we create a time dependent simulation algorithm based on performing qubitization on the augmented clock system, and in doing so, provide the first qubitization-based approach to time dependent Hamiltonians that goes beyond Trotterization of the ordered exponential. Second, we define a natural generalization of multiproduct formulas for time-ordered exponentials, then propose and analyze an algorithm based on these formulas. Unlike other algorithms of similar accuracy, the multiproduct approach achieves commutator scaling, meaning that this method outperforms existing methods for physically-local time dependent Hamiltonians. Our work reduces the disparity between time dependent and time independent simulation and indicates a step towards optimal quantum simulation of time dependent Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 複数積分公式（MPFs）およびキュービット化を用いた時間に依存するハミルトニアンのシミュレーションにおいて、スケーラブルで厳密な手法の欠如に対処すること。
• 時間順序指数関数を通常の演算子指数関数に変換するための有限次元的かつ有界な形式的枠組みを提供すること。
• 時間に依存しないシミュレーション技術（特にMPFsおよびキュービット化）を時間に依存するダイナミクスに適用可能にし、証明可能な誤差境界を保証すること。
• 交換子スケーリングと多対数的誤差スケーリングの両方を備えた、体系的かつスケーラブルな時間に依存するハミルトニアンシミュレーションのアプローチを確立すること。
• ハミルトニアンの2階微分が有界である条件下で、キュービット化を時間に依存する設定に拡張可能であることを実証すること。

提案手法

• 時間発展演算子を表す有限次元の離散時計レジスタを導入し、時間順序指数関数を拡張されたヒルベルト空間上の通常の演算子指数関数に変換する。
• 時計レジスタを用いて、離散的な時間シフト演算子により時間発展演算子を符号化し、標準的な時間に依存しないシミュレーション手法の適用を可能にする。
• 物理系と時計の結合系上に、すべての演算子が有界かつ有限次元である時間に依存しない有効ハミルトニアンを構築する。
• 拡張された系上で複数積分公式（MPFs）を用いることで、$n$次精度の収束と、時計キュービット数に多対数的スケーリングされる誤差を達成する。
• 形式的枠組みを用いて、キュービット化を時間に依存するハミルトニアンに一般化し、ハミルトニアンの2階微分が小さい場合に実用的であることを示す。
• スペクトルノルムおよび$L^1$-ノルムの解析を用いて誤差を評価し、時計次元が増加するに従い収束が保証されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時計構成は、時間に依存しないシミュレーション手法を用いた時間に依存するハミルトニアンのシミュレーションを、厳密かつ有限次元的枠組みで可能にするか？
• RQ2 複数積分公式（MPFs）は、交換子スケーリングを保ちつつ、時間に依存するハミルトニアンにどのように適応可能か？
• RQ3 キュービット化は、どのような条件下で時間に依存するハミルトニアンに一般化可能か？また、その際の複雑さのトレードオフは何か？
• RQ4 時計キュービット数が増加するに従い、離散時計構成の収束挙動はどのように変化するか？
• RQ5 提案手法は、誤差スケーリングおよびリソース複雑度の観点から、既存の時間に依存するシミュレーションアルゴリズムを上回るか？

主な発見

• 離散時計構成により、標準的な時間に依存しない手法を用いて時間に依存するハミルトニアンをシミュレート可能であり、時計キュービット数が増加するに従い誤差が消滅する。
• 本手法は、シミュレーション時間および系サイズに対して多対数的誤差スケーリングを達成し、標準積分公式における超多項式的誤差スケーリングを著しく改善する。
• 時計フレームワーク内に適用された複数積分公式（MPFs）は交換子スケーリングを示し、ハミルトニアン項が可換である場合には誤差が消滅する。これにより、標準積分公式に比べて超多項式的優位性が得られる。
• 数値結果により、物理的に関連のある系において理論的予測と同等以上の性能を示しており、理論的誤差境界の妥当性が検証された。
• キュービット化は時間に依存するハミルトニアンに一般化可能であるが、ハミルトニアンの2階微分が十分に小さい場合に限られる。これにより、弱く時間に依存する系に限定された実用性となる。
• スペクトルノルムおよび$L^1$-ノルムの解析により、誤差に対する厳密な境界が得られ、本手法の体系的改善可能性とスケーラビリティが保証された。