[論文レビュー] Time-dependent product-form Poisson distributions for reaction networks with higher order complexes

David F. Anderson, David Schnoerr+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、初期分布がポアソン分布の積である場合に、高次複合体を有する確率的反応ネットワークの時間依存的分布が、すべての時間においてもポアソン分布の積の形を保つための必要十分条件—動的かつ制限付き複合体バランス（DR）—を確立する。この結果は、決定論的質量作用則微分方程式を満たす時間変動する平均ベクトルを用いて、古典的な積型定常分布を非定常領域へと拡張するものである。

ABSTRACT

It is well known that stochastically modeled reaction networks that are complex balanced admit a stationary distribution that is a product of Poisson distributions. In this paper, we consider the following related question: supposing that the initial distribution of a stochastically modeled reaction network is a product of Poissons, under what conditions will the distribution remain a product of Poissons for all time? By drawing inspiration from Crispin Gardiner's "Poisson representation" for the solution to the chemical master equation, we provide a necessary and sufficient condition for such a product-form distribution to hold for all time. Interestingly, the condition is a dynamical "complex-balancing" for only those complexes that have multiplicity greater than or equal to two (i.e. the higher order complexes that yield non-linear terms to the dynamics). We term this new condition the "dynamical and restricted complex balance" condition (DR for short).

研究の動機と目的

• 初期分布がそのように与えられた場合に、確率的反応ネットワークの時間依存的分布がポアソン分布の積の形を保つ条件を同定すること。
• 古典的な積型定常分布（ポアソン分布の積）の結果を、非定常かつ時間依存的な領域へと拡張すること。
• 積型構造を保つ平均ベクトル c(t) の動的特性を同定すること。
• ガーディナーのポアソン表現を高次複合体を有するネットワークへと一般化すること。
• 定常状態を超えて積型ポアソン分布が保たれるための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 2次以上の複合体にのみ適用される、動的かつ制限付き（DR）複合体バランス条件を導入する。
• ガーディナーのポアソン表現を用いて、化学的マスター方程式の時間依存的解を導出する。
• コルモゴロフ前向き方程式における係数を等置することで、時間依存的分布がポアソン分布の積の形を保つための必要十分条件を導出する。
• 多項式の独立性の議論を用いて、DR条件が必要かつ十分であることを証明する。
• 時間変動する平均ベクトル c(t) が、初期条件 c(0) = c̃ を満たす決定論的質量作用則の常微分方程式を満たすことを示し、積型構造の保存を保証する。
• マスター方程式における係数マッチングを通じて、DR条件と積型構造の保存との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次複合体を有する確率的モデル化された反応ネットワークが、初期状態がそのように与えられた場合に、すべての時間においても積型ポアソン分布を保つ条件は何か？
• RQ2 非線形（高次）複合体を含む反応ネットワークにおいても、時間依存的分布がポアソン分布の積の形を保ち続けることは可能か？
• RQ3 ネットワーク構造および動力学的特性に関して、積型構造が動的に保たれるために必要な十分条件は何か？ これは定常状態でのみではなく、動的状態でも成立する。
• RQ4 時間変動する平均ベクトル c(t) は、積型構造を保つために、決定論的質量作用則の力学とどのように関係しているか？
• RQ5 ガーディナーのポアソン表現を高次複合体を有するネットワークへと一般化し、積型構造を保つことは可能か？

主な発見

• 時間依存的分布がポアソン分布の積の形を保つための必要十分条件は、2次以上複合体にのみ適用される動的かつ制限付き（DR）複合体バランス条件である。
• 積型構造を保つ時間変動する平均ベクトル c(t) は、初期条件 c(0) = c̃ を満たす決定論的質量作用則の常微分方程式の解である。
• DR条件により、コルモゴロフ前向き方程式における係数マッチングがすべての x に対して成立し、結果として積型構造の保存が保証される。
• 二価およびそれ以上の複合体に関連する関数 f_i(x) = g_{x,c}(z_i) は線形独立である。これは、DR条件の必要性を示すために鍵となる。
• 零次および一次複合体のみを有するネットワークでは、DR条件は古典的な複合体バランスに簡略化され、ガーディナーの既知の結果が回復される。
• 多項式の次数解析を用いて、係数の和が消えることから、DR条件がすべての高次複合体に対して成立しなければならないことが示された。