[論文レビュー] Time Dependent Quantum Mechanics

P. G. Morrison|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Astrophysics and Cosmic Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子ブレーシストクローネの原理に基づく行列力学的手法を用いて、有限系における時間最適な量子制御を実現する方法を提案する。時間に依存するハミルトニアンを明示的に導出しており、SU(n)多様体上の測地線的経路が一定エネルギー・周期的ダイナミクスをもたらすことを示している。量子トライットや非可換幾何学への応用により、断熱近似を用いずに効率的な状態遷移が可能となる。

ABSTRACT

We present a systematic method for dealing with time dependent quantum dynamics, based on the quantum brachistochrone and matrix mechanics. We derive the explicit time dependence of the Hamiltonian operator for a number of constrained finite systems from this formalism. Once this has been achieved we go on to calculate the wavevector as a function of time, in order to demonstrate the use of matrix methods with respect to several concrete examples. Interesting results are derived for elliptic curves and periodic orbits on higher dimensional non-commutative geometries.

研究の動機と目的

• 量子ブレーシストクローネと行列力学に基づく、時間に依存する量子ダイナミクスの体系的かつ包括的な手法の開発。
• ハミルトニアンの形を事前に仮定せずに、有限量子系の明示的な時間に依存するハミルトニアンを導出すること。
• 複素射影状態多様体上の測地線的フローを用いた時間最適な状態遷移の実証。
• SU(3)や無限次元行列を含む高次元系への形式の拡張。
• 断熱的でなく、摂動論的でもない手法を用いて、実験室環境での実用的量子制御を可能にする。

提案手法

• 量子フェルマーの原理に基づく時間最適作用原理を定式化し、射影状態多様体上での移動時間を最小化する。
• 時間発展、状態ダイナミクス、制約項を含むゲージ不変ラグランジアンを用い、トレースがゼロのハミルトニアンを強制する。
• オイラー＝ラグランジュ方程式を適用し、時間発展方程式 $ i|\dot{\psi}\rangle = \tilde{H}|\psi\rangle $ と制約方程式を導出する。
• 周期的軌道とSU(n)対称性を持つ系に対して、明示的な時間に依存するハミルトニアン行列 $ \tilde{H} $ を導出する。
• エネルギーおよび状態発展の物理的上限を強制するための制約行列 $ \tilde{F} $ を構築する。
• 量子ブレーシストクローネ条件のもとでハミルトニアンが時間に依存せず一定であることを示し、測地線的フローであることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンの形を事前に仮定せずに、時間最適な量子状態遷移をどのように導出できるか。
• RQ2 SU(n)多様体上での測地線的フローを生成する時間に依存するハミルトニアンの構造は何か。
• RQ3 非可換幾何学を持つ時間に依存する量子系において、周期的軌道や楕円曲線はどのようにして出現するか。
• RQ4 量子ブレーシストクローネ形式は、連続的な自由度を有する無限次元行列系へと拡張可能か。
• RQ5 一定エネルギー・時間最適なダイナミクスが、量子トライットや高次元系における量子制御に及ぼす影響は何か。

主な発見

• 時間最適な量子状態遷移経路は、複素射影状態多様体上の測地線に対応し、量子ブレーシストクローネの原理により移動時間を最小化する。
• 導出されたハミルトニアン $ \tilde{H} $ は時間に依存せず一定であり、時間最適な遷移が連続的対称性群に沿って進行することを示唆する。
• SU(3)や高次元系に対し、明示的な時間に依存するハミルトニアンが導出され、周期的軌道や非可換幾何学を含む。
• $ \sum \omega_j(t) = 0 $ を満たす系では、ハミルトニアンが制約行列と可換となり、測地線的フローの安定性と整合性が保証される。
• 本手法により、断熱的でも摂動論的でもない量子制御が可能となり、高速な量子状態転送のための一般的かつ効率的なフレームワークが提供される。
• 形式は無限次元行列へと一般化可能であるが、連続的自由度を有する系における場密度の表現はまだ確立されていない。