[論文レビュー] Time-dependent quasi-Hermitian Hamiltonians and the unitarity of quantum evolution

Miloslav Znojil|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、時刻に依存する擬ハミルトニアンがユニタリな量子力学的進化を保つには、時間に依存しない計量が必要であるという広く引用されている主張に挑戦する。2レベルの行列モデルを分析することで、計量が時間とともに変化してもユニタリティが保たれることを示し、計量の時間依存性が本質的にユニタリティを破るわけではないことを明らかにする。主な貢献は、擬ハミルトニアン系が擬定常的でない条件でもユニタリなダイナミクスを維持できることを証明したことであり、これにより先行研究における制限的な条件が緩和されることを示している。

ABSTRACT

We show that the consequences of an introduction of a manifest time-dependence in a pseudo-Hermitian Hamiltonian H=H(t) are by far less drastic than suggested by A. Mostafazadeh in Phys. Lett. B 650 (2007) 208 (arXiv:0706.1872v2 [quant-ph]). In particular, the unitarity of the evolution does not necessitate the time-independence of the metric $η_+=η_+(t)$.

研究の動機と目的

• 時刻に依存する擬ハミルトニアン系におけるユニタリ進化が時間に依存しない計量を要するという、Mostafazadeh (2007) の主張に反論すること。
• 時間に依存する計量演算子がユニタリ進化をどのように保っているかを明確にすること。
• 具体的な2×2行列モデルを用いて、計量が時間とともに変化してもユニタリティが維持されることを示すこと。
• Mostafazadehの研究から主要な方程式を一貫した時間に依存する形式で再導出・是正すること。
• 時間に依存しない計量を仮定することで、擬ハミルトニアン系のダイナミクスに不必要な制限が課されることを主張すること。

提案手法

• 著者らは、$ \alpha(t) $ でパrameter化された時刻に依存する2レベルのハミルトニアン $ H(t) $ を、擬ハミルトニアンの枠組みで分析する。
• パラメータ $ T(t) = \tanh\varrho(t) $ および $ C(t) = \cos\alpha(t) $ を用いて、計量 $ \Theta(t) $ 及びその平方根 $ \omega(t) $ を閉形式で定義する。
• 物理的ヒルベルト空間における時間発展演算子は、$ U_R(t) = \omega^{-1}(t) u(t) \omega(0) $ として、ユニタリ変換により構成される。ここで $ u(t) $ は補助ヒルベルト空間におけるシュレーディンガー方程式を満たす。
• 物理的状態の時間発展演算子は $ |\Phi(t)\rangle = \omega(t) |\chi(t)\rangle $ として定義され、ノルム保存が保証される。
• 著者らは $ \omega(t) $ を用いて発展演算子を導出し、内積 $ \langle\!\!\langle \Phi(t) | \Phi(t) \rangle\!\!\rangle $ が時間に依存せずに一定であることを示す。
• Mostafazadehの研究から主要な方程式を再導出し、時間に依存する計量の効果をダイナミクスに組み込む必要性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻に依存する擬ハミルトニアン系におけるユニタリ進化は、計量演算子 $ \eta_+ $ が時間に依存しない必要があるか？
• RQ2 時間に依存する計量 $ \Theta(t) $ であっても、擬ハミルトニアン系におけるユニタリ時間進化を支持できるか？
• RQ3 計量が時間とともに変化させることで、観測可能量およびハミルトニアンのダイナミクスにどのような影響が生じるか？
• RQ4 計量の時間依存性が物理的ヒルベルト空間における発展演算子のユニタリティにどのように影響するか？
• RQ5 擬定常的ハミルトニアン（すなわち $ H^\dagger = \eta_+ H \eta_+^{-1} $ で $ \eta_+ $ が時間に依存しない）に制限することが、ユニタリティのためには必要か？

主な発見

• ユニタリ進化は、計量 $ \Theta(t) $ が明示的に時間に依存しても保たれ、Mostafazadeh (2007) の主張と矛盾する。
• パラメータ $ T(t) = \tanh\varrho(t) $ および $ C(t) = \cos\alpha(t) $ を用いて、2レベルモデルに対して計量 $ \Theta(t) $ を閉形式で構成でき、その平方根 $ \omega(t) $ も導出可能である。
• 発展演算子 $ U_R(t) = \omega^{-1}(t) u(t) \omega(0) $ により、物理的状態のノルムが時間とともに一定に保たれる。
• 内積 $ \langle\!\!\langle \Phi(t) | \Phi(t) \rangle\!\!\rangle $ が保存されることから、時間変化する $ \Theta(t) $ であってもユニタリティが確認される。
• 著者らはMostafazadehの研究から主要な方程式を是正・再導出し、時間に依存しない $ \eta_+ $ を仮定することで不必要な制限が生じることを示した。
• 解析により、計量の時間依存性がダイナミクスの情報を含み、無視できず、ユニタリティのためには擬定常性の仮定が必須でないことが示された。