[論文レビュー] Time-dependent variational principle with controlled bond expansion for matrix product states

Jheng-Wei Li, Andreas Gleis+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2022

Numerical methods for differential equations参考文献 92被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間発展演算における変分原理（TDVP）に基づく行列積状態（MPS）のための制御的結合次元拡張（CBE）を導入する。CBEにより、時間発展演算中に結合次元を動的に適応させることで、射影誤差を低減しつつ、1サイトTDVPの効率性と安定性を維持できる。CBE–TDVPは、ほぼ1サイトの計算コストで2サイトTDVPの精度に達し、誤差成長を制御した長時間にわたる量子ダイナミクスの高精度シミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

We present a controlled bond expansion (CBE) approach to simulate quantum dynamics based on the time-dependent variational principle (TDVP) for matrix product states. Our method alleviates the numerical difficulties of the standard, fixed-rank one-site TDVP integrator by increasing bond dimensions on the fly to reduce the projection error. This is achieved in an economical, local fashion, requiring only minor modifications of standard one-site TDVP implementations. We illustrate the performance of CBE--TDVP with several numerical examples on finite quantum lattices.

研究の動機と目的

• 標準的な1サイトTDVP（1TDVP）の固定ランク制限を克服し、時間発展演算中にエンタングルメントの増大を追跡できるようにすること。
• 1TDVPが保証する数値的安定性、ユニタリティ、エネルギー保存を維持しながら、精度を向上させるランク適応型積分法を開発すること。
• 2サイトTDVPの精度を達成しつつ、計算コストを1TDVPと同等に保つこと。従来の適応スキームの高コストを回避すること。
• 局所的で経済的なスキームを用いて、MPS結合次元を動的に拡張することで、TDVPの射影誤差を制御すること。

提案手法

• 1TDVPが見逃すが、$H\Psi$ に顕著な重みを持つ部分空間を特定し、それらに結合次元を拡張することで射影誤差を低減する制御的結合次元拡張（CBE）を導入する。
• 標準的な1TDVPアルゴリズムを改変し、CBEスキーム（参考文献[54]）に従って結合次元を実行時中に増加可能にする。
• MPS多様体上への $H\Psi(t)$ の射影に、動的かつ調整可能な結合次元を持つ $\mathcal{P}^{1\mathrm{s}}(t)$ を用いる。
• CBEスキームを用いて、現在のMPS接空間に直交する $H\Psi$ の成分を捉える切り捨て補完 $\widetilde{A}^{\mathrm{tr}}_{\ell}$ を計算する。
• 標準的な1TDVPコードへの修正を最小限に抑え、局所的かつ経済的な方法で実装する。
• 有効ハミルトニアンの特異値に閾値 $\widetilde{\epsilon}$ を設け、誤差が有界に保たれるように結合次元拡張を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1TDVP時間発展演算中に結合次元を適応的に増大させることで、射影誤差を低下させつつ計算効率を損なわないか？
• RQ2 CBE–TDVPは、1TDVPのユニタリティとエネルギー保存を維持しながら、2サイトTDVPの精度に達するか？
• RQ3 CBE–TDVPにおける誤差は長時間にわたりどのように変化し、動的結合次元増大にもかかわらず制御可能か？
• RQ4 CBE–TDVPの計算コストは2TDVPに対してどの程度で、系サイズや物理次元 $d$ に対して良好にスケーリングするか？
• RQ5 CBE–TDVPは、1TDVPが固定ランク制約のため捕捉できない対称性破れ初期状態（例：ドメインウォール）をシミュレートできるか？

主な発見

• CBE–TDVPは、長時間にわたり、fidelity誤差 $\delta F(\bar{t})$ が $6.7 \times 10^{-5}$ にプラトーに達する。これは誤差が制御され、蓄積されないことを示している。
• 比較的大きな拡張閾値 $\widetilde{\epsilon} = 10^{-2}$ でさえも、誤差は有界であり、急激に増大しない。これにより、強健性が示された。
• $D_{\mathrm{max}} = 120$ の場合、fidelity誤差は $6.7 \times 10^{-5}$ にプラトーに達し、$D_{\mathrm{max}}$ を無限大に引き上げてもその値は僅かに減少するにとどまる。
• ドメインウォール初期状態において、CBE–TDVPは1TDVPを上回る性能を示す。1TDVPは完全に失敗（fidelityがゼロに低下）するが、CBE–TDVPは高いfidelityを維持する。
• CBE–TDVPは2TDVPに比べてCPU時間を数桁短縮する。1.5時間単位のシミュレーションを1日以内に完了できるが、2TDVPでは同じ精度を得るのに2日を要する。
• CBE–TDVPにおける結合次元の増大は遅く、指数的飽和を示す2TDVPとは異なり、$D^3$ スケーリングにもかかわらず、顕著なコスト削減が達成される。