[論文レビュー] Time Derivative of Rotation Matrices: A Tutorial

Shiyu Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

このチュートリアルでは、回転行列の時間微分を回転運動学を用いて導出し、それが角速度を表す反対称行列と回転行列自体の積に等しいことを示している。主な貢献は、反対称行列が、定式化に応じて世界座標系またはボディ座標系に表現された角速度ベクトルとして明確な物理的解釈を持つことである。本研究はロボット工学およびIMUを用いた運動推定に実用的応用を持つ。

ABSTRACT

The time derivative of a rotation matrix equals the product of a skew-symmetric matrix and the rotation matrix itself. This article gives a brief tutorial on the well-known result.

研究の動機と目的

• 回転行列の時間微分における反対称行列の物理的意味を明確化すること。
• 標準的な回転行列微分定式化における角速度ベクトルの参照座標系に関する曖昧さを解消すること。
• ロボット工学および制御システムに応用可能な回転運動学方程式の物理的に解釈可能な導出を提供すること。
• IMUを用いてボディ座標系で角速度が測定される場合、微分形式の実用的有用性を示すこと。

提案手法

• 回転座標系 $ B $ に固定された点の運動を分析することにより、回転行列 $ R_B^A $ の時間微分を導出する。関係式 $ \dot{P}_A = \dot{R}_B^A P_B $ を用いる。
• 世界座標系における線形速度と角速度の関係を表す運動学的関係 $ \dot{P}_A = w_A \times P_A = [w_A]_\times P_A $ を用いる。
• 二つの $ \dot{P}_A $ の表現を等置し、$ \dot{R}_B^A = [w_A]_\times R_B^A $ を得る。ここで $ w_A $ は世界座標系における角速度である。
• ボディ固定角速度 $ w_B $ を用いて微分を再定式化し、$ \dot{R}_B^A = R_B^A [w_B]_\times $ を得る。これはIMU測定値と直接利用可能である。
• 恒等式 $ [R w]_\times = R [w]_\times R^T $ を用いて、座標系間での反対称行列の変換を行う。
• 2次元で検証し、$ \dot{R}_\alpha = [-\sin\alpha \; -\cos\alpha; \; \cos\alpha \; -\sin\alpha] \dot{\alpha} $ を3次元定式化の特殊ケースとして導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転行列の時間微分における反対称行列の物理的解釈は何か？
• RQ2 角速度の参照座標系の選択が回転行列微分の形にどのように影響するか？
• RQ3 ボディ固定角速度を用いた式が、IMUを搭載したロボットシステムにおいてなぜより実用的なのか？
• RQ4 世界座標系とボディ座標系の原点が一致しない場合、標準的な微分公式はどのような条件下で有効であるか？
• RQ5 2次元回転行列微分は、3次元定式化の特殊ケースとしてどのように導出できるか？

主な発見

• 回転行列 $ R_B^A $ の時間微分は、$ \dot{R}_B^A = [w_A]_\times R_B^A $ で与えられ、ここで $ w_A $ は世界座標系における角速度である。
• 微分はまた $ \dot{R}_B^A = R_B^A [w_B]_\times $ とも表現でき、ここで $ w_B $ はボディ座標系における角速度であり、IMUで直接測定可能である。
• ボディ座標系における角速度が測定されていれば、ボディ座標系が世界座標系に対して並進運動をしても、式 $ \dot{R}_B^A = R_B^A [w_B]_\times $ は有効である。
• 反対称行列 $ [w_A]_\times $ と $ [w_B]_\times $ の関係は $ [w_A]_\times = R_B^A [w_B]_\times (R_B^A)^T $ で与えられ、座標系変換が可能である。
• 2次元回転行列微分 $ \dot{R}_\alpha $ は、$ w_B = \dot{\alpha} e_3 $ のとき3次元結果と一致し、次元間の一貫性が確認される。
• 式 (6) および (8) は、ボディ固定角速度を用いるため、世界座標系角速度を用いる式よりもリアルタイムのロボット応用においてより実用的である。