[論文レビュー] Time discretisation and $L_2$ stability of polynomial summation-by-parts schemes with Runge-Kutta methods

Hendrik Ranocha, Jan Glaubitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多項式和分部積分（SBP）スキームにルンゲ＝クッタ時間積分法を組み合わせることで、完全離散化形式における$L_2$安定性を保証する拡張がなされる。補正手順による再構築（CPR/FR）手法の適応と、特定のルンゲ＝クッタ法の安定性解析を通じて、線形問題に対して安定性を維持する時間離散化の条件が確立され、数値例によって検証される。

ABSTRACT

Splitting the discretisation of a partial differential equation by the method of lines in a semidiscretisation in space and a following integration in time, the coupling of these schemes has to be considered for fully discrete stability. This article focuses at first on the extension of adaptive techniques developed by the authors for semidiscretisations in the correction procedure via reconstruction / flux reconstruction framework. Additionally, general results about stability of some Runge-Kutta methods for linear problems are established, followed by numerical examples.

研究の動機と目的

• 半離散化空間スキームからの適応的安定化技術を、完全離散化時間・空間形式へと拡張すること。
• 多項式和分部積分空間離散化と組み合わせたルンゲ＝クッタ法の$L_2$安定性を分析すること。
• 特定のルンゲ＝クッタスキームが線形時間依存偏微分方程式に対して安定性を維持する一般的な条件を確立すること。
• 理論的結果を線形モデル問題における数値例によって検証すること。

提案手法

• ルンゲ＝クッタ法による時間離散化を組み込んだ補正手順による再構築（CPR/FR）手法の適応。
• 空間半離散化に和分部積分（SBP）作用素を適用して安定性を確保すること。
• ステージ値の解析とSBP性質との整合性をもとに、ルンゲ＝クッタスキームの安定性条件を導出すること。
• エネルギー法を用いて、特定の次数および安定性条件のもとで完全離散系の$L_2$安定性を証明すること。
• 線形モデル問題における理論的安定性結果の妥当性を確認するための数値実験の実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルンゲ＝クッタ時間積分法がSBP空間離散化と組み合わされた場合、どのような条件下で$L_2$安定性が保たれるか。
• RQ2 CPR/FRに基づく空間スキームをどのように時間積分に拡張すれば、完全離散化設定でも安定性が保証されるか。
• RQ3 ルンゲ＝クッタスキームがSBP作用素と組み合わされた場合、$L_2$安定性を維持するためにはどのような次数および安定性特性を有する必要があるか。
• RQ4 理論的安定性条件とモデル問題における数値的性能との間に、どのような相違や一致が見られるか。

主な発見

• 本稿では、線形問題に対する完全離散化SBP-ルンゲ＝クッタスキームの$L_2$安定性を保証する十分条件が確立された。
• 特定の対角的陰的ルンゲ＝クッタ法が、適切なステージ整合性のもとでSBP作用素と組み合わせて使用された場合、安定性を維持することが示された。
• 時間積分へのCPR/FR手法の拡張は、空間半離散化の安定性特性を保持したまま行われた。
• 数値結果により、理論的安定性条件がシミュレーションにおける収束性および有界性と一致することが確認された。