[論文レビュー] Time-energy and time-entropy uncertainty relations in dissipative quantum dynamics

Gian Paolo Beretta|ArXiv.org|Nov 9, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、密度演算子の一般化された線形および非線形時間発展方程式を用いて、散逸的量子系における正確な時間-エネルギーおよび時間-エントロピー不確定性関係を導出する。Mandelstam-Tamm-Messiahの境界よりも鋭い時間-エネルギー不確定性関係を導入し、等高エントロピー上昇ダイナミクス下で、$ (2\tau_{F}\Delta_{H}/\hbar)^2 + (\tau_{F}\Delta_{S}/k_{\rm\scriptscriptstyle B}\tau)^2 \geq 1 $ という主要な結果を導出する。これは、不可逆的緩和を経る孤立系に対して有効である。

ABSTRACT

We derive exact relations and general inequalities that extend the usual time-energy uncertainty relations from the domain of unitary Hamiltonian dynamics to that of dissipative dynamics as described by a broad class of linear and nonlinear evolution equations for the density operator. For non-dissipative dynamics, by using the Schroedinger inequality instead of the Heisenberg-Robertson inequality, we obtain a general exact time-energy uncertainty relation which is sharper than the usual Mandelstam-Tamm-Messiah relation $τ_FΔ_H\ge \hbar/2$. For simultaneous unitary/dissipative dynamics, the usual time-energy uncertainty relation is replaced by a less restrictive relation that depends on the characteristic time of dissipation, $τ$, and the uncertainty associated with the generalized nonequilibrium Massieu-function operator which defines the structure of the dissipative part of the assumed class of evolution equations. Within the steepest-entropy-ascent dissipative quantum dynamics of an isolated system introduced earlier by this author, we obtain the interesting time-energy and time-entropy uncertainty relation $(2τ_FΔ_H/ \hbar)^2+ (τ_FΔ_S/k_Bτ)^2 \ge 1$. We illustrate this result and various other inequalities by means of numerical simulations.

研究の動機と目的

• ユニタリーハミルトニアンダイナミクスを超えて散逸的過程を含む標準的な時間-エネルギー不確定性関係を拡張すること。
• 非平衡量子系における観測量およびエントロピーの内在的時スケールを定義する基礎的課題に取り組むこと。
• 正の性を保ち、物理的に非現実的な固有値不安定性を避ける数学的に可逆的だが物理的には不可逆的な動的枠組みを構築すること。
• エネルギー不確定性 $\Delta_H$、エントロピー不確定性 $\Delta_S$、特徴的な時定数 $\tau_F$、$\tau$ を含む正確な不確定性関係を導出すること。
• 等高エントロピー上昇ダイナミクスの文脈で、数値シミュレーションを通じて導出された関係を検証すること。

提案手法

• 密度演算子 $\rho$ の一般化された時間発展方程式 $\frac{d\rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho] + \frac{1}{2k_{\rm\scriptscriptstyle B}\tau(\rho)}\{\Delta M(\rho), \rho\}$ を用いる。ここで $\Delta M(\rho)$ は、一般化された非平衡マスエフ関数に関連するエルミート演算子である。
• 観測量 $F$ のための内在的特徴的な時定数 $\tau_F$ を $\tau_F = \Delta_F / |\langle [H,F] \rangle|$ で定義し、Mandelstam-Tammのアプローチを散逸的状況に拡張する。
• 散逸がない極限において、より鋭い時間-エネルギー境界を達成するために、ハイゼンベルク＝ロバートソン形式ではなくシュレーディンガーの不確定性不等式を適用する。
• 散逸的ダイナミクスを支配する一般化された非平衡マスエフ関数演算子 $M(\rho) = S(\rho) - \frac{H}{\theta(\rho)} + \frac{\boldsymbol{\mu}(\rho) \cdot \mathbf{N}}{\theta(\rho)}$ を導入する。
• 等高エントロピー上昇ダイナミクス下で、時間-エネルギーおよび時間-エントロピーの統一的不確定性関係 $(2\tau_F\Delta_H/\hbar)^2 + (\tau_F\Delta_S/k_{\rm\scriptscriptstyle B}\tau)^2 \geq 1$ を導出する。
• 数値シミュレーションを実施し、導出された不確定性関係の挙動および、零固有値の人口増加を引き起こす線形時間発展方程式の非物理的不安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な時間-エネルギー不確定性関係を散逸的ダイナミクスに一般化する方法は何か？
• RQ2 一般化された非平衡マスエフ関数演算子が、散逸的量子系の不確定性構造に果たす役割は何か？
• RQ3 散逸のない状況において、シュレーディンガー不等式を用いて、より鋭い時間-エネルギー不確定性関係を導出できるか？
• RQ4 不可逆的量子ダイナミクスにおいて、エネルギーとエントロピー不確定性のための内在的時定数どうしがどのように関係するか？
• RQ5 密度行列 $\rho$ の零固有値で無限大のエントロピー生成率を引き起こす線形時間発展方程式がもたらす物理的結果は何か？

主な発見

• 散逸がない状況でシュレーディンガー不等式を用いることで、Mandelstam-Tamm-Messiahの境界よりも鋭い時間-エネルギー不確定性関係を導出する。
• ユニタリおよび散逸的ダイナミクスが同時に作用する場合、標準的な時間-エネルギー不確定性関係は、散逸時間 $\tau$ および一般化された非平衡マスエフ関数演算子の不確定性を含む、より緩い形に置き換えられる。
• 孤立系における等高エントロピー上昇モデルでは、正確な不確定性関係 $(2\tau_F\Delta_H/\hbar)^2 + (\tau_F\Delta_S/k_{\rm\scriptscriptstyle B}\tau)^2 \geq 1$ が成立し、時間-エネルギーと時間-エントロピー不確定性が統合される。
• 数値シミュレーションにより、導出された不確定性関係の有効性が確認されるとともに、$\rho$ の零固有値で無限大のエントロピー生成率を引き起こす線形時間発展方程式の非物理的性質が明らかになった。
• 非線形で非線形構造を持つ時間発展方程式（式2）を用いることで、物理的不安定性を回避し、前向きおよび後ろ向き時間においても解が明確に定義される。一方で、単調なエントロピー増加を通じて物理的不可逆性を記述できる。
• 本稿は、数学的可逆性と物理的不可逆性が、非線形的で正の性を保ち、因果律を尊重する時間発展方程式によって定式化されたダイナミクスにおいて、共存しうることを示した。