[論文レビュー] Time evolution algorithms for Matrix Product States and DMRG

Juan José García‐Ripoll|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2006

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 30被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、1次元量子系における行列積状態（MPS）のための高度な時間発展演算子近似法を導入し、ベンチマークする。時間発展演算子の近似に、テイラー展開、パデ近似、アーノルド法を比較する。アーノルド法は、中程度の計算リソースで優れた精度を達成し、1次元ヘイズボンボソン系におけるフェシュバッハ共鳴のダイナミクスをシミュレート可能であり、非断熱的ラップでも原子相関が分子状態に高い忠実度で写し取られることが示された。

ABSTRACT

In this work we develop several new simulation algorithms for 1D many-body quantum mechanical systems combining the Matrix Product State variational ansatz with Taylor, Padé and Arnoldi approximations to the evolution operator. By comparing with previous techniques based on MPS and DMRG we demonstrate that the Arnoldi method is the best one, reaching extremely good accuracy with moderate resources. Finally we apply this algorithm to studying how correlations are transferred from the atomic to the molecular cloud when crossing a Feschbach resonance with two-species hard-core bosons in a 1D optical lattice.

研究の動機と目的

• 1次元量子系における行列積状態（MPS）のための効率的な時間発展演算アルゴリズムの開発と比較。
• 時間発展演算子の近似法としてのテイラー、パデ、アーノルド法の精度と性能を評価。
• 最も優れた性能を示すアルゴリズムを用いて、1次元ハードコアボソン系におけるフェシュバッハ共鳴通過時の相関転送を研究。
• 非断熱的条件下でも、分子状態の相関が初期の原子相関を忠実に反映できることを示すこと。

提案手法

• 行列積状態（MPS）のバリエーショナルアンザッツを用いて、行列次元Dが有界な状態を多体量子状態として表現。
• 誤差を最小化するように最適な射影作用素を用いて、状態をMPS多様体に切断。
• 短時間発展演算ステップに、時間発展演算子 e^(-iHt) のテイラー展開およびパデ近似を適用。
• MPSに沿ったKrylov部分空間を構築することで精度と安定性を向上させる、新規のアーノルド法を導入。
• アダプティブタイムステッピングと切断誤差制御を組み合わせることで、数値誤差の蓄積を管理。
• アルゴリズムの妥当性をスピン1/2モデルを用いて検証し、最良の手法をフェシュバッハ共鳴結合を有する1次元2成分ハードコアボソンモデルに適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された計算コストのもとで、テイラー、パデ、アーノルド法のうち、どの時間発展演算法がMPSベースのシミュレーションにおいて最も高い精度を達成するか？
• RQ2 時間発展演算の過程で切断誤差はどのように蓄積されるか？また、MPSシミュレーションにおいて効果的に制御可能か？
• RQ3 フェシュバッハ共鳴スイープ後の分子状態の相関は、初期の原子2体相関を忠実に反映できるか？
• RQ4 1次元原子-分子遷移において、高精度な相関写し取りを達成するための最小ラップ時間は何か？
• RQ5 有限のホッピングが共鳴スイープ中のコherー二ティおよび相関転送効率に与える影響は何か？

主な発見

• アーノルド法は、特に大きな時間ステップに対して、テイラーおよびパデ近似を上回る精度と安定性を示した。
• すべての手法において、切断誤差と丸め誤差が主な制限要因であり、アーノルド法が最も優れた誤差制御を示した。
• ラップ時間 T ≈ 1.5/Ω の場合、分子状態は初期の原子2体相関強度の約90％を保持した。
• J = 0.4Ω でさえも、分子相関が初期の原子相関とよく一致したため、断熱的でない領域においても強靭性が確認された。
• 共鳴付近で分子状態の混合により、原子のホッピングが強く抑制され、実質的に「ピン留め」され、相関測定が可能になった。
• 非断熱的ラップでも相関写し取りプロトコルが有効であるため、現在の超低温原子実験において実用的である可能性が示された。