[論文レビュー] Time evolution of correlation functions for classical and quantum anharmonic oscillators

Luís M. A. Bettencourt, C. Wetterich|ArXiv.org|May 18, 1998

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$1/N^2$補正まで正確なO(N)対称な陽子振動子における相関関数の時間発展を記述する正確なフロー方程式を導出しており、古典的および量子系の両方を分析している。有効な不可逆性が見られるにもかかわらず、$N \to \infty$極限においても系は熱的平衡に達しない。時間発展は初期条件に応じて漸近的に安定であるか、無限大に発散するモードを示すかのいずれかであり、長時間にわたる$1/N$展開の有効性に疑問を呈する。

ABSTRACT

The time evolution of the correlation functions of an ensemble of anharmonic N-component oscillators with O(N) symmetry is described by a flow equation, exact up to corrections of order $1/N^2$. We find effective irreversibility. Nevertheless, analytical and numerical investigation reveals that the system does not reach thermal equilibrium for large times, even when $N o \infty$. Depending on the initial distribution, the dynamics is asymptotically stable or it exhibits growing modes which break the conditions for the validity of the 1/N expansion for large time. We investigate both classical and quantum systems, the latter being the limit of an O(N) symmetric scalar quantum field theory in zero spatial dimensions.

研究の動機と目的

• O(N)-対称な陽子振動子の相関関数に対する、$1/N^2$補正まで正確なフロー方程式を導出すること。
• このような系が長時間にわたって熱的平衡に達するかどうか、特に$N \to \infty$極限においてを調査すること。
• 零次元のO(N)スカラー場理論におけるO(N)対称性をもつ古典的および量子系の時間発展を比較すること。
• $1/N$展開の有効性と崩壊を、長時間発展、特に非平衡的初期条件下で評価すること。
• $1/N$展開が長時間にわたって無効になる原因となる増大モードの出現を調査すること。

提案手法

• $1/N^2$補正まで正確な関数的並行化群の手法を用いて、相関関数のフロー方程式を定式化する。
• 古典的および量子系の両方にこの手法を適用し、量子系は零次元のO(N)スカラー場理論に対応する。
• 導出されたフロー方程式に従って、2点相関関数の時間発展を分析する。
• 相関関数の長時間挙動について、解析的および数値的考察を実施する。
• 時間発展における増大モードの有無を特定することで、解の安定性を評価する。
• 増大モードの有無を確認することで、$1/N$展開の有効性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 陽子振動子における相関関数の長時間発展を$1/N$展開が正しく記述できるか。
• RQ2 有効な不可逆性があるにもかかわらず、$N \to \infty$極限において系が熱的平衡に達できるか。
• RQ3 初期条件が長時間にわたる$1/N$展開の安定性と有効性にどのように影響するか。
• RQ4 増大モードが長時間ダイナミクスにおける$1/N$展開の崩壊に果たす役割は何か。
• RQ5 同じ$1/N$展開フレームワーク下で、古典的および量子系の非平衡的時間発展はどのように比較できるか。

主な発見

• 導出された相関関数のフロー方程式は、$1/N^2$補正まで正確であり、非平衡ダイナミクスを体系的に研究するための制御された枠組みを提供する。
• 系は有効な不可逆性を示すが、$N \to \infty$極限においても熱的平衡に達しない。
• 特定の初期条件では、相関関数に増大モードが現れ、長時間における$1/N$展開の崩壊を示唆する。
• 増大モードの有無は初期分布に強く依存しており、$1/N$展開の有効性が時間に依存し、条件付きで不安定であることを示す。
• 零次元のO(N)スカラー場理論に対応する量子系は、古典的系と同様の非平衡的挙動を示す。
• 数値的および解析的結果により、漸近的安定性または不安定性が初期データに依存することが確認され、普遍的な熱化は見られない。