[論文レビュー] Time-Fractional Allen-Cahn Equations: Analysis and Numerical Methods

Qiang Du, Jiang Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\alpha \in (0,1)$ の Caputo 分数階微分を用いた時間分数階アラン・キャーン方程式を研究し、非制限的安定な時間積分スキームに対して、適切な解の存在・一意性、最大値原理、最良の $O(\tau^\alpha)$ 収束速度を確立した。離散的エネルギー散逸を証明し、最大 $L^p$ 正則性および分数階グローワルの不等式を用いて、追加の正則性仮定なしに収束を達成した。

ABSTRACT

In this work, we consider a time-fractional Allen-Cahn equation, where the conventional first order time derivative is replaced by a Caputo fractional derivative with order $α\in(0,1)$. First, the well-posedness and (limited) smoothing property are systematically analyzed, by using the maximal $L^p$ regularity of fractional evolution equations and the fractional Grönwall's inequality. We also show the maximum principle like their conventional local-in-time counterpart. Precisely, the time-fractional equation preserves the property that the solution only takes value between the wells of the double-well potential when the initial data does the same. Second, after discretizing the fractional derivative by backward Euler convolution quadrature, we develop several unconditionally solvable and stable time stepping schemes, i.e., convex splitting scheme, weighted convex splitting scheme and linear weighted stabilized scheme. Meanwhile, we study the discrete energy dissipation property (in a weighted average sense), which is important for gradient flow type models, for the two weighted schemes. Finally, by using a discrete version of fractional Grönwall's inequality and maximal $\ell^p$ regularity, we prove that the convergence rates of those time-stepping schemes are $O(τ^α)$ without any extra regularity assumption on the solution. We also present extensive numerical results to support our theoretical findings and to offer new insight on the time-fractional Allen-Cahn dynamics.

研究の動機と目的

• 時間分数階アラン・キャーン方程式（Caputo 分数階微分を用いる）の適切な解の存在・一意性および解の正則性を確立すること。
• 初期データが同じく二重井戸ポテンシャル内にある場合に、解がその境界内に保たれる最大値原理を証明すること。
• この非局所的時間的モデルに対して、非制限的安定かつ解可能な時間積分スキームを構築すること。
• 2 つのスキームについて、重み付き平均の意味で離散的エネルギー散逸を解析すること。
• 解の追加正則性を仮定せずに、$O(\tau^\alpha)$ の鋭い収束速度を導出すること。

提案手法

• 分数階進化方程式に対する最大 $L^p$ 正則性理論を用いて解の正則性を解析する。
• 解の挙動を制御し、誤差推定を導出するために分数階グローワルの不等式を適用する。
• Caputo 分数階微分を後退オイラー畳み込み Quadrature 法で離散化する。
• 3 つの時間積分スキームを提案する：凸分割法、重み付き凸分割法、線形重み付き安定化スキーム。
• 離散的分数階グローワルの不等式および最大 $\ell^p$ 正則性を用いて収束を証明する。
• 相分離および粗大化ダイナミクスの広範な数値実験を通じて理論的結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数階アラン・キャーン方程式は、初期データが二重井戸ポテンシャル内にある場合に、解が常にその中にあるという最大値原理を満たすか？
• RQ2 $\alpha \in (0,1)$ の時間分数階アラン・キャーン方程式の解の正則性および適切な解の存在・一意性はどのように保証されるか？
• RQ3 この非局所的時間的モデルに対して、非制限的安定かつ解可能な時間積分スキームを構築できるか？
• RQ4 提案されたスキームは、重み付き平均の意味で離散的エネルギー散逸を保持するか？
• RQ5 時間積分スキームの収束速度は何か？ また、解の追加正則性を仮定せずにその収束速度を証明できるか？

主な発見

• 時間分数階アラン・キャーン方程式は最大値原理を満たす：初期データが二重井戸ポテンシャル内にあるならば、任意の時刻においても解はその中にある。
• 解は限定的な滑らかさを示し、適切な解の存在・一意性が最大 $L^p$ 正則性および分数階グローワルの不等式を用いて確立された。
• 提案された 3 つの時間積分スキーム（凸分割法、重み付き凸分割法、線形重み付き安定化スキーム）は、非制限的解可能かつ安定である。
• 重み付き凸分割法および線形重み付き安定化スキームは、重み付き平均の意味で離散的エネルギー散逸を保持する。
• 解の追加正則性を仮定せずに、すべてのスキームに対して $O(\tau^\alpha)$ の最良収束速度が証明された。
• 数値結果により、$\alpha$ の値が小さいほど粗大化段階が遅くなり、ダイナミクスが変化することが確認された。エネルギーの時間発展は分数階エネルギー散逸則 $\bar{\partial}^{\alpha}_{\tau}E(u_n) \leq 0$ に従う。