[論文レビュー] Time-fractional derivatives in relaxation processes: a tutorial survey

Francesco Mainardi, Rudolf Gorenflo|ArXiv.org|Jan 31, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 103

ひとこと要約

このチュートリアル的サーベイは、リーマン＝リウヴィルおよびキャプト fractional 衍生に関する包括的な概要を提供する。Mittag-Leffler 関数が viscoelastic 材料における緩和ダイナミクスを支配することを示し、初期条件を扱う際のキャプト導関数の優位性を確立することで、線形 viscoelasticity における分数階微積分学の厳密な基礎を築く。

ABSTRACT

The aim of this tutorial survey is to revisit the basic theory of relaxation processes governed by linear differential equations of fractional order. The fractional derivatives are intended both in the Rieamann-Liouville sense and in the Caputo sense. After giving a necessary outline of the classical theory of linear viscoelasticity, we contrast these two types of fractional derivatives in their ability to take into account initial conditions in the constitutive equations of fractional order. We also provide historical notes on the origins of the Caputo derivative and on the use of fractional calculus in viscoelasticity.

研究の動機と目的

• 緩和現象の文脈において、リーマン＝リウヴィルおよびキャプト分数階導関数の理論的差異を明確化すること。
• viscoelastic 材料の分数階構成方程式において初期条件の重要性を示すこと。
• Mittag-Leffler 関数を分数階緩和方程式の基本的解として確立すること。
• 分数階微積分学が viscoelasticity に応用されてきた歴史的文脈を提示すること。
• 分数階微分方程式を解くためのラプラス変換技術に関する体系的チュートリアルを提供すること。

提案手法

• リーマン＝リウヴィル積分作用素を用いて、リーマン＝リウヴィルおよびキャプト定式化による分数階導関数の定義。
• ラプラス変換を適用して、特に Mittag-Leffler 関数を含む分数階緩和方程式の解を導出。
• 初期値補正を含む恒等式を通じて、リーマン＝リウヴィル導関数とキャプト導関数の関係を導出。
• 積分表現および漸近展開を用いて、時間領域における緩和の挙動を分析。
• $ E_\nu(-\tau^\nu) $ の完全単調性を $ 0 < \nu \neq 1 $ に対して確立し、緩和過程における物理的実現可能性と関連付ける。
• Titchmarsh の定理および Tauberian 理論を用いて、分数階緩和関数のスペクトル表現および長時間漸近挙動を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウヴィル導関数とキャプト導関数は、緩和方程式における初期条件の取り扱いにおいてどのように異なるか？
• RQ2 なぜ Mittag-Leffler 関数は分数階微積分学の「王女関数」と呼ばれるのか、そして緩和ダイナミクスにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 キャプト導関数は、導関数の次数未満の多項式において消えることで、viscoelastic モデルにおける物理的整合性をどのように保証するか？
• RQ4 分数階緩和関数 $ E_\nu(-\tau^\nu) $ は指数関数的減衰をどのように一般化するのか、またその漸近的挙動は何か？
• RQ5 分数階微積分学が viscoelasticity に採用されるに至った歴史的発展は何か、そして主な貢献者たちは誰か？

主な発見

• 初期値問題において、定数および $ m $ 未満の次数の多項式において消えるため、キャプト導関数はリーマン＝リウヴィル導関数よりも物理的に適している。
• 分数階緩和方程式 $ {}_0D_t^\nu \tau(t) = -\frac{1}{\tau_0} \tau(t) $ の解は $ \tau(t) = E_\nu(-t^\nu / \tau_0^\nu) $ で与えられ、ここで $ E_\nu $ は Mittag-Leffler 関数である。
• $ 0 < \nu \neq 1 $ に対して、Mittag-Leffler 関数 $ E_\nu(-\tau^\nu) $ は完全単調であるため、緩和関数の物理的実現可能性が保証される。
• $ t \to 0^+ $ のとき、$ E_\nu(-\tau^\nu) \to 1 - \frac{t^\nu}{\nu\tau_0^\nu} $ であり、$ t \to \tau_0 $ のとき $ t^{-\nu} $ のように減衰するため、パワーロー尾を示す。
• Mittag-Leffler 関数 $ E_\nu(-\tau^\nu) $ のラプラス変換は $ \frac{s^{\nu-1}}{s^\nu + \tau_0^{-\nu}} $ である。これにより、分数階微分方程式の解析的取り扱いが可能になる。
• $ \nu = 1/2 $ のとき、$ E_{1/2}(-\tau^{1/2}) = e^{\tau^2} \text{erfc}(\tau) \to \frac{1}{\tau \tau_0 \tau} $ として $ \tau \to \tau_0 $ に近づくが、これは長時間における $ t^{-1/2} $ の減衰を示している。