[論文レビュー] Time in quantum gravity by weakening the Hamiltonian constraint

Hrvoje Nikolić|ArXiv.org|Dec 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子重力における時間の問題を解決するための手法を提案する。標準的なWheeler-DeWitt制約 $ otag\hat{H}|\psi\rangle = 0$ を、より弱い条件 $ otag\langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle = 0$ に置き換えることで、波動関数が関数的シュレーディンガー方程式に従って時間発展するのを可能にする。主な結果として、この手法は、波動関数の位相が時間に依存しないが確率密度が時間発展するため、追加の物質場を導入せずに時間の問題を解決する整合的な量子理論をもたらし、古典的極限においても正しく再現されることを示している。

ABSTRACT

We replace the usual Hamiltonian constraint of quantum gravity H|psi>=0 by a weaker one =0. This allows |psi> to satisfy the time-dependent functional Schrodinger equation. In general, only the phase of the wave function appears to be time independent. The resulting quantum theory has the correct classical limit and thus provides a viable theory of quantum gravity that solves the problem of time without introducing additional nongravitational degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 量子重力における時間の問題を解決すること。標準的なWheeler-DeWitt方程式は、時間に依存しない波動関数を意味し、これは古典的時間発展と整合しない。
• 半古典的極限において、古典的ハミルトニアン制約 $H=0$ と整合性を保ちつつ、量子状態に時間依存性を許容すること。
• 追加の非重力的自由度を導入せず、または一般相対性を破ることなく、量子理論における一般共変性を維持すること。
• ユニタリな時間発展がハミルトニアンにおける演算子順序に制約を課すことを示し、演算子順序問題の一部を解決すること。
• ド・ブロイ＝ボーム解釈が、一般相対性を回復させる役割を果たす可能性を検討すること。

提案手法

• 標準的なWheeler-DeWitt制約 $\n otag\hat{H}|\psi\rangle = 0$ を、ハミルトニアンの期待値がゼロになるより弱い条件 $\n otag\langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle = 0$ に置き換える。
• 波動関数を $\psi(g,t) = R(g,t) e^{iS(g)/\hbar}$ と表現し、$S$ を時間に依存しないものとすることで、$R(g,t)$ を通じた時間発展を可能にする。
• $R$ の時間依存性から関数的シュレーディンガー方程式を導出し、確率保存を保証する $R^2$ に関する実数方程式を得る。
• WKBアンザッツ $\psi = R e^{iS/\hbar}$ を用いて、複素シュレーディンガー方程式を実数のハミルトン＝ジャコビ型方程式（$S$ について）と連続性型方程式（$R^2$ について）に分解する。
• ハミルトニアンにおける一般化された演算子順序を $\hat{H} = -\hbar^2 [G_{AB}\partial^A\partial^B + c G_{AB}^{,A} \partial^B] + V$ として導入し、$c = b/(a+b)$ とすることで、ユニタリティと古典的極限への影響を検討する。
• ド・ブロイ＝ボーム仮定 $\pi^A = S^{,A}$ の下で、$R^2$ の連続性方程式を共変形式 $d\rho/dx^\mu = 0$ に再定式化できることを示し、非共変な力学が共変な保存則に結びつくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間依存性を持つ波動関数を許容しつつ、半古典的極限で古典的ハミルトニアン制約 $H=0$ を満たす、実用的な量子重力理論を構築可能か？
• RQ2 $\hat{H}|\psi\rangle = 0$ を $\langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle = 0$ に置き換えることで、外部時間や物質を導入せずに整合的な時間発展が得られるか？
• RQ3 ユニタリな時間発展の要請が、ハミルトニアン制約における演算子順序にどのような制約を課えるか？
• RQ4 ド・ブロイ＝ボーム解釈を用いることで、一般相対性を破る量子重力理論においても一般共変性を回復できるか？
• RQ5 時間に依存しない位相 $S(g)$ が、確率密度 $R^2(g,t)$ の力学的振る舞いを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 波動関数は $R(g,t)$ を通じて時間依存となり得るが、位相 $S(g)$ は時間に依存しないままであり、これにより古典的極限で時間依存な計量の発展が回復される。
• $\langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle = 0$ の条件は、半古典的領域で古典的制約 $H=0$ と整合的であることを保証する。
• ユニタリな時間発展は、演算子順序に制約を課し、具体的には $c = b/(a+b)$ である必要がある。これにより、$R^2$ の連続性方程式が確率保存と整合的であることが保証される。
• ド・ブロイ＝ボーム仮定 $\pi^A = S^{,A}$ の下で、$R^2$ の連続性方程式は共変形式 $d\rho/dx^\mu = 0$ に再定式化可能であり、これはde Broglie-Bohm解釈が量子重力においてより深い役割を果たす可能性を示唆する。
• 非共変な $R^2$ の時間発展は、ド・ブロイ＝ボーム像における隠れた変数の非共変な力学によって相殺され、全体として共変な記述が得られる。
• 本手法は、追加の物質場を導入せず、有効記述における一般共変性を破ることなく、純粋な重力理論における時間の問題を効果的に解決している。